Encontre as raízes (zeros) da seguinte função, no intervalo dado, através dos métodos gráfico, da bisseção, da falsa posição, de Newton e da secante. Com base no resultado gráfico, determine intervalos para a possível solução, no caso do método da bisseção ou estimativa(s) inicial(is) para os métodos de Newton e da secante. Note que, para alguns casos, as funções tendem ao infinito para algum dos limites dos intervalos fornecidos. Realize 3 iterações para cada método.
Passo 1
O enunciado pede para achar o zero de f(x)=x+tan(x) em (π/2,3π/2) usando análise gráfica e depois 3 iterações de bisseção, falsa posição, Newton e secante.
Passo 2
Pelo gráfico de tan(x) vemos que f(x)→−∞ em x→π/2⁺ e f(π)=π>0, logo há um único zero em (π/2,π). A partir de valores tabelados obtemos f(2)≈2+tan(2)=−0.185<0 e f(2.2)≈2.2+tan(2.2)=0.691>0. Então escolhemos para bisseção e falsa posição o intervalo [2,2.2], para Newton x₀=2 e para secante x₀=2, x₁=2.1.
Passo 3
Método da bisseção:
– Iteração 1: c₁=(2+2.2)/2=2.1, f(c₁)=2.1+tan(2.1)≈0.386>0 → novo intervalo [2,2.1].
– Iteração 2: c₂=(2+2.1)/2=2.05, f(c₂)=2.05+tan(2.05)≈0.115>0 → novo intervalo [2,2.05].
– Iteração 3: c₃=(2+2.05)/2=2.025, f(c₃)≈0.052>0 → intervalo final [2,2.025], aproximação c₃≈2.025.
– Iteração 1: c₁=(2+2.2)/2=2.1, f(c₁)=2.1+tan(2.1)≈0.386>0 → novo intervalo [2,2.1].
– Iteração 2: c₂=(2+2.1)/2=2.05, f(c₂)=2.05+tan(2.05)≈0.115>0 → novo intervalo [2,2.05].
– Iteração 3: c₃=(2+2.05)/2=2.025, f(c₃)≈0.052>0 → intervalo final [2,2.025], aproximação c₃≈2.025.
Passo 4
Método da falsa posição:
– Iteração 1: c₁=2−f(2)·(2.2−2)/(f(2.2)−f(2))=2.04235, f(c₁)≈0.0453 → novo b=2.04235.
– Iteração 2: c₂=2−(−0.185)·(2.04235−2)/(0.0453−(−0.185))=2.0340, f(c₂)≈0.0460 → novo b=2.0340.
– Iteração 3: c₃=2−(−0.185)·(2.0340−2)/(0.0460−(−0.185))=2.0270, f(c₃)≈0.0445, aproximação c₃≈2.0270.
– Iteração 1: c₁=2−f(2)·(2.2−2)/(f(2.2)−f(2))=2.04235, f(c₁)≈0.0453 → novo b=2.04235.
– Iteração 2: c₂=2−(−0.185)·(2.04235−2)/(0.0453−(−0.185))=2.0340, f(c₂)≈0.0460 → novo b=2.0340.
– Iteração 3: c₃=2−(−0.185)·(2.0340−2)/(0.0460−(−0.185))=2.0270, f(c₃)≈0.0445, aproximação c₃≈2.0270.
Passo 5
Método de Newton: f’(x)=1+sec²(x). Com x₀=2:
– Iteração 1: x₁=2−f(2)/f’(2)=2.0273.
– Iteração 2: x₂=2.0273−f(2.0273)/f’(2.0273)=2.0200.
– Iteração 3: x₃=2.0200−f(2.0200)/f’(2.0200)=2.0158.
– Iteração 1: x₁=2−f(2)/f’(2)=2.0273.
– Iteração 2: x₂=2.0273−f(2.0273)/f’(2.0273)=2.0200.
– Iteração 3: x₃=2.0200−f(2.0200)/f’(2.0200)=2.0158.
Passo 6
Método da secante: com x₀=2, f₀≈−0.185 e x₁=2.1, f₁≈0.358:
– Iteração 1: x₂=2.1−0.358·(2.1−2)/(0.358−(−0.185))=2.0341.
– Iteração 2: x₃=2.0341−0.0751·(2.0341−2.1)/(0.0751−0.358)=2.0166.
– Iteração 3: x₄=2.0166−(−0.0064)·(2.0166−2.0341)/((−0.0064)−0.0751)=2.0180, aproximação x₄≈2.0180.
– Iteração 1: x₂=2.1−0.358·(2.1−2)/(0.358−(−0.185))=2.0341.
– Iteração 2: x₃=2.0341−0.0751·(2.0341−2.1)/(0.0751−0.358)=2.0166.
– Iteração 3: x₄=2.0166−(−0.0064)·(2.0166−2.0341)/((−0.0064)−0.0751)=2.0180, aproximação x₄≈2.0180.
Resposta
Após 3 iterações temos as seguintes aproximações para a raiz em (π/2,π):
Bisseção: 2.0250
Falsa posição: 2.0270
Newton: 2.0158
Secante: 2.0180
Bisseção: 2.0250
Falsa posição: 2.0270
Newton: 2.0158
Secante: 2.0180