Encontre as raízes (zeros) da seguinte função, no intervalo dado, através dos métodos gráfico, da bisseção, da falsa posição, de Newton e da secante. Com base no resultado gráfico, determine intervalos para a possível solução, no caso do método da bisseção ou estimativa(s) inicial(is) para os métodos de Newton e da secante. Note que, para alguns casos, as funções tendem ao infinito para algum dos limites dos intervalos fornecidos. Realize 3 iterações para cada método.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as raízes de
no intervalo
Passo 2
Primeiro, pelo método gráfico notamos que zeros ocorrem quando o numerador se anula, isto é
Então vamos usar para cada raiz intervalos ou estimativas iniciais próximos desses valores.
Passo 3
Para o método da bisseção escolhemos para a primeira raiz o intervalo
, pois
e para a segunda o intervalo
Em cada caso calculamos o ponto médio e escolhemos o subintervalo com mudança de sinal. Após 3 iterações obtemos: primeira raiz em
(intervalo final
e segunda raiz em
(intervalo final
.
Passo 4
No método da falsa posição usamos os mesmos intervalos iniciais. Aplicando a fórmula
após 3 iterações para a primeira raiz chegamos em
Passo 5
Para o método de Newton usamos a derivada
com chute inicial
leva após 3 iterações a
e
, respectivamente.
Passo 6
No método da secante partimos de
para a primeira raiz e
para a segunda e usamos
$$x_{k+1}=x_k- f(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.
$$
Após 3 iterações encontramos e
.
Após 3 iterações encontramos
Resposta
Aproximações das raízes:
- Método gráfico:
- Bisseção (3 it.):
- Falsa posição (3 it.):
- Newton (3 it.):
- Secante (3 it.):