Encontre as raízes (zeros) da seguinte função, no intervalo dado, através dos métodos gráfico, da bisseção, da falsa posição, de Newton e da secante. Com base no resultado gráfico, determine intervalos para a possível solução, no caso do método da bisseção ou estimativa(s) inicial(is) para os métodos de Newton e da secante. Note que, para alguns casos, as funções tendem ao infinito para algum dos limites dos intervalos fornecidos. Realize 3 iterações para cada método.
f(x)=sen(x)+cos (x)x^2,(0 ; 2 pi)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes de
f(x)=sin(x)+cos(x)x^2
no intervalo (0,2pi) pelos métodos gráfico, da bisseção, da falsa posição, de Newton e da secante, realizando 3 iterações em cada um.

Passo 2

Primeiro, pelo método gráfico notamos que zeros ocorrem quando o numerador se anula, isto é
sin(x)+cos(x)=0implies tan(x)=-1implies x=3pi4,7pi4approx2,3562,;5,4978
Então vamos usar para cada raiz intervalos ou estimativas iniciais próximos desses valores.

Passo 3

Para o método da bisseção escolhemos para a primeira raiz o intervalo [1,3], pois
f(1)>0, f(3)<0,
e para a segunda o intervalo [5,6], pois
f(5)<0, f(6)>0.
Em cada caso calculamos o ponto médio e escolhemos o subintervalo com mudança de sinal. Após 3 iterações obtemos: primeira raiz em c3=2,25 (intervalo final [2,25,2,5]) e segunda raiz em c3=5,625 (intervalo final [5,5,5,625]).

Passo 4

No método da falsa posição usamos os mesmos intervalos iniciais. Aplicando a fórmula
xk+1=akf(bk)-bkf(ak)f(bk)-f(ak),
após 3 iterações para a primeira raiz chegamos em x4approx2,674 e para a segunda em x4approx5,507.

Passo 5

Para o método de Newton usamos a derivada
f'(x)=xcos x - xsin x - 2(sin x+cos x)x^3
com chute inicial x0=2,5 para a primeira raiz e x0=5,5 para a segunda. A fórmula
xk+1=xk-f(xk)f'(xk)
leva após 3 iterações a x3approx2,3608 e x3approx5,5045, respectivamente.

Passo 6

No método da secante partimos de x0=2,,x1=3 para a primeira raiz e x0=5,,x1=6 para a segunda e usamos
$$x_{k+1}=x_k- f(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.
$$
Após 3 iterações encontramos xk+1=xk- f(xk)xk-xk-1f(xk)-f(xk-1) e x4approx2,3896.

Resposta

Aproximações das raízes:
  • Método gráfico: x1approx2,3562,;x2approx5,4978
  • Bisseção (3 it.): x1approx2,25,;x2approx5,625
  • Falsa posição (3 it.): x1approx2,674,;x2approx5,507
  • Newton (3 it.): x1approx2,3608,;x2approx5,5045
  • Secante (3 it.): x1approx2,3896,;x2approx5,5013

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