Seja Ln(f ; x) o polinômio que interpola f(x)=x /(x+1) em 0,1, ldots, n. Provar que
Ln(f ; n+1)=(-1)^n+1+n+1n+2

Passo 1

O enunciado pede o valor de L_n(f; n+1), onde L_n é o polinômio de grau ≤ n que interpola f(x)=x/(x+1) nos pontos 0,1,…,n. O conteúdo principal é interpolação de Lagrange e manipulação de polinômios para achar o valor extrapolado em n+1.

Passo 2

Definimos o polinômio
M(x) = (x+1),Ln(x) - x
Como L_n(k)=f(k)=k/(k+1) para k=0,1,…,n, temos
M(k) = (k+1)kk+1 - k = 0
para todo k=0,…,n. Logo
M(x) = Aprodj=0^n (x - j)
para alguma constante A.

Passo 3

Para determinar A, avaliamos em x=-1. Note que
M(-1) = 0cdot Ln(-1) - (-1) = 1
Por outro lado,
M(-1) = Aprodj=0^n(-1 - j) = A(-1)^n+1(n+1)!
Igualando,
A(-1)^n+1(n+1)! = 1
portanto
A = (-1)^n+1(n+1)!

Passo 4

Agora avaliamos M em x=n+1:
M(n+1) = (n+2),Ln(n+1) - (n+1)
e também
M(n+1) = A,(n+1)! = (-1)^n+1
Assim
(n+2),Ln(n+1) - (n+1) = (-1)^n+1

Passo 5

Basta isolar L_n(n+1):
(n+2),Ln(n+1) = (-1)^n+1 + (n+1)
Ln(n+1) = (-1)^n+1 + (n+1)n+2

Resposta

\displaystyle L_{n}\bigl(f;,n+1\bigr)=\frac{(-1)^{n+1}+n+1}{n+2}

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