Seja
o polinômio que interpola
em
. Provar que
Passo 1
O enunciado pede o valor de L_n(f; n+1), onde L_n é o polinômio de grau ≤ n que interpola f(x)=x/(x+1) nos pontos 0,1,…,n. O conteúdo principal é interpolação de Lagrange e manipulação de polinômios para achar o valor extrapolado em n+1.
Passo 2
Definimos o polinômio
Como L_n(k)=f(k)=k/(k+1) para k=0,1,…,n, temos
para todo k=0,…,n. Logo
para alguma constante A.
Passo 3
Para determinar A, avaliamos em x=-1. Note que
Por outro lado,
Igualando,
portanto
Passo 4
Agora avaliamos M em x=n+1:
e também
Assim
Passo 5
Basta isolar L_n(n+1):
Resposta
\displaystyle L_{n}\bigl(f;,n+1\bigr)=\frac{(-1)^{n+1}+n+1}{n+2}