Seja
uma função tal que
e integrável em
. o Provar que, para todo
,
Esta e a fórmula de Taylor com erro em forma integral.
Passo 1
O enunciado pede para provar a fórmula de Taylor com resto em forma integral para uma função f cuja derivada de ordem n,
, é integrável em
. O conteúdo teórico que vamos usar é o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e o método de integração por partes repetido.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
Note que isso coincide com a fórmula de Taylor para
:
Passo 3
Suponha que, para algum
com
, valha
Aplicamos integração por partes ao último integral, escolhendo
e
. Então
e obtemos
Substituindo de volta, concluímos que a fórmula vale também para
.
Passo 4
Bastando escolher
na expressão geral do passo anterior, obtemos exatamente
que é a fórmula de Taylor com resto em forma integral desejada.