Seja f uma função tal que f^(n)(x) e integrável em [a, b]. o Provar que, para todo x in[a, b],
f(x)=sumk=0^n-1 f^(k)(a)k!(x-a)^k+1(n-1)! integrala^x(x-t)^n-1 f^(n)(t) d t
Esta e a fórmula de Taylor com erro em forma integral.

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula de Taylor com resto em forma integral para uma função f cuja derivada de ordem n, f^(n)(x), é integrável em [a,b]. O conteúdo teórico que vamos usar é o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e o método de integração por partes repetido.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
f(x)=f(a)+integrala^xf'(t),dt
Note que isso coincide com a fórmula de Taylor para k=0:
f(x)=sumj=0^0f^(j)(a)j!(x-a)^j+10!integrala^x(x-t)^0f^(1)(t),dt

Passo 3

Suponha que, para algum k com 0<= k<= n-1, valha
f(x)=sumj=0^kf^(j)(a)j!(x-a)^j+1k!integrala^x(x-t)^kf^(k+1)(t),dt
Aplicamos integração por partes ao último integral, escolhendo
u=(x-t)^k e dv=f^(k+1)(t),dt. Então
du=-k(x-t)^k-1dt, v=f^(k)(t),
e obtemos
1k!integrala^x(x-t)^kf^(k+1)(t),dt =1k!l[(x-t)^kf^(k)(t)r]a^x -1k!integrala^xf^(k)(t)(-k)(x-t)^k-1dt
=f^(k+1)(a)(k+1)!(x-a)^k+1 +1(k+1)!integrala^x(x-t)^k+1f^(k+2)(t),dt
Substituindo de volta, concluímos que a fórmula vale também para k+1.

Passo 4

Bastando escolher k=n-1 na expressão geral do passo anterior, obtemos exatamente
f(x)=sumj=0^n-1f^(j)(a)j!(x-a)^j +1(n-1)!integrala^x(x-t)^n-1f^(n)(t),dt
que é a fórmula de Taylor com resto em forma integral desejada.

Resposta

f(x)=sumk=0^n-1 f^(k)(a)k!(x-a)^k+1(n-1)! integrala^x(x-t)^n-1 f^(n)(t),dt

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