Aproximar 3-x, no intervalo [1,2], por uma função g(x) da forma g(x)=a1+a2 1x, usando o MMQ.

Passo 1

O enunciado pede pra aproximar a função f(x)=3 - x no intervalo [1,2] por uma função da forma g(x)=a1 + a21x, usando o método dos mínimos quadrados (MMQ). Vamos trabalhar com produto interno contínuo e montar as equações normais.

Passo 2

No MMQ em bases não ortogonais, escolhemos as funções de base varphi1(x)=1 e varphi2(x)=tfrac1x. Definimos o produto interno como lang<= u,vrang<==integral1^2u(x)v(x),dx. A partir disso, precisamos calcular as entradas da matriz A e do vetor b das equações normais:

Passo 3

Calculamos as integrais que formam Aij=lang<= varphii,varphijrang<=:
A11=integral1^21,dx=1, A12=A21=integral1^21x,dx=ln2,
A22=integral1^21x^2,dx=l[-tfrac1xr]1^2=tfrac12

Passo 4

Agora calculamos bi=lang<= varphii,frang<=:
b1=integral1^2(3-x),dx=l[3x-tfracx^22r]1^2=tfrac32,
b2=integral1^2(3-x)1x,dx=integral1^2l(3x-1r)dx=l[3ln x - xr]1^2=3ln2-1

Passo 5

O sistema normal fica:
$$
1 & ln2 ln2 & tfrac12 a1a2 = tfrac323ln2-1

.
$$

Passo 6

Para resolver, da primeira equação a1+a2ln2=tfrac32 temos a1=tfrac32 -a2ln2. Substituindo na segunda:
(ln2)l(tfrac32 -a2ln2r)+tfrac12a2=3ln2-1
leva a
a2l(tfrac12-(ln2)^2r)=(tfrac32)ln2-1
e então
a2=(tfrac32)ln2-1tfrac12-(ln2)^2 =3ln2-21-2(ln2)^2

Passo 7

Retornando em a1=tfrac32 -a2ln2, obtemos
a1=3+4ln2-12(ln2)^22l(1-2(ln2)^2r)
Pronto: temos os coeficientes ótimos e podemos escrever a aproximação.

Passo 8

A função aproximante fica:
g(x)=a1+a21x
com a1 e a2 dados acima.

Resposta

a_{2}=\dfrac{3\ln2-2}{1-2(\ln2)^2},\quad a_{1}=\dfrac{3+4\ln2-12(\ln2)2}{2\bigl(1-2(\ln2)2\bigr)}

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