Encontrar a reta de mínimos quadrados para aproximar , no intervalo dado, para: ;
Passo 1
O enunciado pede para aproximar no intervalo por uma reta de mínimos quadrados. Vamos usar regressão linear contínua, montando as equações normais com as funções base e , o que exige calcular integrais de produtos dessas funções com .
Passo 2
Definimos a matriz dos coeficientes e o vetor termo independente pelas integrais
Em componentes fica
Passo 3
Calculamos os elementos de A:
integral0^2 1,dx=2,
integral0^2 x,dx=x^22|0^2=2,
integral0^2 x^2,dx=x^33|0^2=83
Logo A=2 & 2[4pt]2 & tfrac83
Passo 4
Calculamos o vetor b:
integral0^2 e^x,dx=e^x|0^2=e^2-1,
Para integral0^2 x,e^x,dx fazemos integração por partes com u=x e dv=e^x,dx: integral0^2 x,e^x,dx=x,e^x|0^2-integral0^2 e^x,dx=2e^2-(e^2-1)=e^2+1
Portanto
b=e^2-1[4pt]e^2+1
Passo 5
As equações normais ficam
2a0+2a1=e^2-1,[4pt]2a0+tfrac83a1=e^2+1
Subtraindo a primeira da segunda obtemos tfrac23a1=2implies a1=3