Encontrar a reta de mínimos quadrados para aproximar f(x), no intervalo dado, para:
f(x)=exp x, [0,2];

Passo 1

O enunciado pede para aproximar f(x)=e^x no intervalo [0,2] por uma reta de mínimos quadrados. Vamos usar regressão linear contínua, montando as equações normais com as funções base phi0(x)=1 e phi1(x)=x, o que exige calcular integrais de produtos dessas funções com f(x).

Passo 2

Definimos a matriz dos coeficientes A e o vetor termo independente b pelas integrais
Aij=integral0^2phii(x),phij(x),dx,
bi=integral0^2phii(x),f(x),dx
Em componentes fica
A=integral0^2 1,dx & integral0^2 x,dx[6pt]integral0^2 x,dx & integral0^2 x^2,dx, b=integral0^2 e^x,dx[4pt]integral0^2 x,e^x,dx

Passo 3

Calculamos os elementos de A:
integral0^2 1,dx=2,
integral0^2 x,dx=x^22|0^2=2,
integral0^2 x^2,dx=x^33|0^2=83
Logo
A=2 & 2[4pt]2 & tfrac83

Passo 4

Calculamos o vetor b:
integral0^2 e^x,dx=e^x|0^2=e^2-1,
Para integral0^2 x,e^x,dx fazemos integração por partes com u=x e dv=e^x,dx:
integral0^2 x,e^x,dx=x,e^x|0^2-integral0^2 e^x,dx=2e^2-(e^2-1)=e^2+1
Portanto
b=e^2-1[4pt]e^2+1

Passo 5

As equações normais ficam
2a0+2a1=e^2-1,[4pt]2a0+tfrac83a1=e^2+1
Subtraindo a primeira da segunda obtemos
tfrac23a1=2implies a1=3
Substituindo em 2a0+2cdot3=e^2-1
2a0=e^2-7implies a0=e^2-72

Resposta

A reta de mínimos quadrados é hat f(x)=e^2-72+3x.

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