Encontrar a reta de mínimos quadrados para aproximar f(x), no intervalo dado, para:
f(x)=x ln x, [1,3];

Passo 1

Neste exercício vamos aproximar a função f(x)=xln x no intervalo [1,3] por uma reta y=ax+b usando mínimos quadrados, o que exige minimizar a integral do erro quadrático e resolver as equações normais.

Passo 2

Definimos a função objetivo
E(a,b)=integral1^3 [xln x - (ax+b)]^2,dx
e aplicamos as condições de otimalidade
partial Epartial a=0, partial Epartial b=0,
o que gera o sistema
aintegral1^3 x^2,dx + bintegral1^3 x,dx = integral1^3 x^2ln x,dx,
aintegral1^3 x,dx + bintegral1^3 1,dx = integral1^3 xln x,dx

Passo 3

Calculamos as integrais básicas:
integral1^3 1,dx = 2, integral1^3 x,dx = 4, integral1^3 x^2,dx = 263

Passo 4

Para as integrais com ln x usamos integração por partes:
Para integral1^3 xln x,dx, tomamos u=ln x, dv=x,dx e obtemos
integral1^3 xln x,dx = 92ln3 - 2
Para integral1^3 x^2ln x,dx, tomamos u=ln x, dv=x^2,dx e obtemos
integral1^3 x^2ln x,dx = 9ln3 - 269

Passo 5

Substituindo no sistema temos
263a + 4b = 9ln3 - 269, 4a + 2b = 92ln3 - 2
Resolvendo por eliminação chegamos a
a=53 e b=27ln3 - 5212.

Resposta

y = 53x + 27ln3 - 5212

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