Seja a tabela:
l|l|l|l|l|l $x$ & 0.3 & 2.7 & 4.5 & 5.9 & 7.8 hline$y$ & 1.8 & 1.9 & 3.1 & 3.9 & 3.3 0.3 2.7 4.5 5.9 7.8
1.8 1.9 3.1 3.9 3.3
(a) Ajustar aos dados da tabela um polinômio de grau 2.
(b) Determinar o polinômio interpolador de grau 2 que passa pelos primeiros 3 pontos da tabela.
© Determinar, pelo MMQ, um polinômio de grau 2 usando os mesmos pontos do item (b).
(d) O que você observa comparando os resultados dos itens (b) e ©?
(e) Analisando o item (d) e o item © do exercício anterior, qual a sua conclusão?

Passo 1

Temos uma tabela com 5 pares (xi,yi) e precisamos: ajustar um polinômio de grau 2 por MMQ usando todos os pontos (item a), achar o interpolador de grau 2 para os 3 primeiros pontos (item b), aplicar MMQ para esses mesmos 3 pontos (item c), comparar resultados (item d) e concluir sobre MMQ e interpolação (item e).

Passo 2

Para o ajuste por MMQ (item a), usamos o polinômio p(x)=ax^2+bx+c e montamos as equações normais:
$$
sum xi^4 & sum xi^3 & sum xi^2 sum xi^3 & sum xi^2 & sum xi sum xi^2 & sum xi & n abc = sum xi^2yisum xi yisum yi

.
$$

Passo 3

Calculamos os somatórios para os 5 pontos:
sum xi=21.2, sum xi^2=123.28, sum xi^3=790.766, sum xi^4=5381.3683, sum yi=14.0, sum xi yi=68.37, sum xi^2yi=413.319 e resolvemos o sistema por eliminação.
Do sistema normal obtemos aproximadamente
aapprox-0.0236, bapprox0.4602, capprox1.4306.
Logo, para (a):
$$p_{MMQ}(x)=-0.0236,x^2+0.4602,x+1.4306.
$$

Passo 4

Para o interpolador (item b), consideramos apenas os 3 primeiros pontos e montamos o sistema Vandermonde:
0.09a+0.3b+c=1.8 7.29a+2.7b+c=1.9 20.25a+4.5b+c=3.1

Passo 5

Resolvendo esse sistema por subtração sucessiva, achamos
a=0.1488, b=-0.4048, c=1.9080.
Assim, para (b):
$$p_{int}(x)=0.1488,x^2-0.4048,x+1.9080.
$$

Passo 6

No item © fazemos MMQ com os mesmos 3 pontos. Mas como são 3 pontos e 3 coeficientes, o sistema normal coincide com o Vandermonde, de modo que o ajuste exato é o mesmo do item (b).
Comparando (b) e © vemos (item d) que os dois polinômios são idênticos.
Concluímos (item e) que, quando o número de pontos é igual ao número de coeficientes (grau+1), o MMQ reproduz exatamente o polinômio interpolador.

Resposta

(a) p(x)=-0.0236,x^2+0.4602,x+1.4306.
(b) p(x)=0.1488,x^2-0.4048,x+1.9080.
© O mesmo de (b).
(d) São idênticos.
(e) Se houver exatamente grau+1 pontos, o MMQ resulta no polinômio interpolador.

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