Dados os polinômios de Legendre:
que obedecem a seguinte definição
aproxime a função
, no intervalo
, utilizando o método dos mínimos quadrados e os polinômios de Legendre.
Passo 1
Vamos aproximar a função
no intervalo
por uma combinação linear de
. O conteúdo aqui é o método dos mínimos quadrados usando polinômios ortonormais de Legendre (na verdade ortogonais com norma
). Vamos precisar usar a fórmula do coeficiente
Passo 2
Primeiro calculemos
. Como
, temos
Expandindo
e integrando, obtemos
Logo,
Portanto
Passo 3
Para
, usamos
. Como
é função par e
é ímpar, o produto é ímpar e
Logo
Passo 4
Agora calculamos
. Com
, temos
Expandindo o integrando, chega-se a
e portanto
Passo 5
Juntando tudo, a aproximação de grau
fica
Simplificando:
Resposta
A melhor aproximação de grau 2 por mínimos quadrados é