Dados os polinômios de Legendre: p0(x)=1, p1(x)=x, p2(x)=3 x^2-12 que obedecem a seguinte definição
integral-1^1 pi(x) pj(x) d x=0, se i neq j integral-1^1 pi(x) pj(x) d x=22 i+1 se i=j
aproxime a função [-1,1], no intervalo , utilizando o método dos mínimos quadrados e os polinômios de Legendre.

Passo 1

Vamos aproximar a função f(x) = (x^2 - 1)^2 no intervalo [-1,1] por uma combinação linear de p0(x), p1(x), p2(x). O conteúdo aqui é o método dos mínimos quadrados usando polinômios ortonormais de Legendre (na verdade ortogonais com norma |pi|^2 = 2/(2i+1)). Vamos precisar usar a fórmula do coeficiente
ai = integral-1^1 f(x),pi(x),dxintegral-1^1 [pi(x)]^2,dx = 2i+12integral-1^1 f(x),pi(x),dx

Passo 2

Primeiro calculemos a0. Como p0(x)=1, temos
integral-1^1f(x)p0(x),dx = integral-1^1(x^2-1)^2,dx
Expandindo (x^2-1)^2 = x^4 -2x^2 +1 e integrando, obtemos
integral-1^1x^4,dx = 25, integral-1^1x^2,dx = 23, integral-1^11,dx = 2
Logo,
integral-1^1f(x),dx = 25 -2cdot23 +2 = 1615
Portanto
a0 = 12cdot 1615 = 815

Passo 3

Para a1, usamos p1(x)=x. Como f(x) é função par e x é ímpar, o produto é ímpar e
integral-1^1f(x)x,dx = 0
Logo
a1 = 32cdot 0 = 0

Passo 4

Agora calculamos a2. Com p2(x)=3x^2-12, temos
integral-1^1 f(x)p2(x),dx = 12integral-1^1(x^2-1)^2(3x^2-1),dx
Expandindo o integrando, chega-se a
integral-1^1(x^2-1)^2(3x^2-1),dx = -64105
e portanto
a2 = 52cdot l(-64105r) = -1621

Passo 5

Juntando tudo, a aproximação de grau 2 fica
A(x) = a0p0(x) + a1p1(x) + a2p2(x) = 815 - 1621cdot3x^2-12
Simplificando:
A(x) = 815 - 821(3x^2-1) = 3235 - 87x^2

Resposta

A melhor aproximação de grau 2 por mínimos quadrados é
A(x) = 3235 - 87x^2

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