Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função
no intervalo
por
(a) uma reta
(b) um polinômio do segundo grau
usando polinômios ortonormais.
(a) uma reta
(b) um polinômio do segundo grau
usando polinômios ortonormais.
Passo 1
A gente quer aproximar pelo critério dos mínimos quadrados a função
no intervalo
por polinômios de grau 1 e 2, usando uma base de polinômios ortonormais em
. Isso envolve calcular coeficientes
, onde as
são ortonormais.
Passo 2
Antes de mais nada, vamos montar três polinômios ortonormais (peso 1) em
:
Eles satisfazem
.
Passo 3
Para a reta, só precisamos de
e
. Vamos calcular:
Passo 4
O polinômio de grau 1 é
Como
, isso dá
Passo 5
Para incluir
, calculamos também
Passo 6
Então o polinômio de grau 2 é
Já sabemos que
e agora
Passo 7
Basta somar tudo:
Reagrupando termos em
, fica
Resposta
(a)
(b)