Aproximar, pelo método dos mínimos quadrados, a função f(x)=x^3+4 no intervalo [0,1] por
(a) uma reta
(b) um polinômio do segundo grau
usando polinômios ortonormais.

Passo 1

A gente quer aproximar pelo critério dos mínimos quadrados a função f(x)=x^3+4 no intervalo [0,1] por polinômios de grau 1 e 2, usando uma base de polinômios ortonormais em [0,1]. Isso envolve calcular coeficientes ck=integral0^1 f(x)varphik(x),dx, onde as varphik são ortonormais.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos montar três polinômios ortonormais (peso 1) em [0,1]:
varphi0(x)=1,
varphi1(x)=raiz12,(x-tfrac12),
varphi2(x)=raiz180,l(x^2 - x + tfrac16r)
Eles satisfazem integral0^1varphii(x)varphij(x),dx=de.

Passo 3

Para a reta, só precisamos de varphi0 e varphi1. Vamos calcular:
c0=integral0^1 (x^3+4)cdot1,dx=l[x^44+4xr]0^1=14+4=174,
c1=integral0^1 (x^3+4),raiz12(x-tfrac12),dx =raiz12integral0^1l(x^4-tfrac12x^3+4x-2r)dx =raiz12cdot340 =3raiz1240 =3raiz320

Passo 4

O polinômio de grau 1 é
p1(x)=c0varphi0(x)+c1varphi1(x) =174 + 3raiz320,raiz12,(x-tfrac12)
Como raiz12raiz3=6, isso dá
p1(x)=174 + 1820(x-tfrac12) =174 + 910x - 920 =910x + 195

Passo 5

Para incluir varphi2, calculamos também
c2=integral0^1 (x^3+4),raiz180(x^2 - x + tfrac16),dx =raiz180integral0^1l(x^5 - x^4 + tfrac16x^3 +4x^2 -4x + tfrac23r)dx =raiz180cdot1120 =raiz180120 =6raiz5120 =raiz520

Passo 6

Então o polinômio de grau 2 é
p2(x)=c0varphi0(x)+c1varphi1(x)+c2varphi2(x)
Já sabemos que c1varphi1(x)=tfrac910(x-tfrac12) e agora
c2varphi2(x)=raiz520cdotraiz180,(x^2-x+tfrac16) =3020(x^2-x+tfrac16) =32x^2-32x+tfrac14

Passo 7

Basta somar tudo:
p2(x)=174 + 910(x-tfrac12) + l(32x^2 - 32x + tfrac14r)
Reagrupando termos em x^2,x,1, fica
p2(x)=32x^2 - 35x + 8120

Resposta

(a) p1(x)=tfrac910x + tfrac195 (b) p2(x)=tfrac32x^2 - tfrac35x + tfrac8120

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