Mostre que se o sistema linear A x=b, det A neq 0, é transformado no sistema B x=c, com B=A^T A e c=A^T b, então a matriz B pode ser decomposta em B=L L^T como no exercício anterior. Aplique este procedimento para resolver o sistema abaixo:
(ccc 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 )(l x1 x2 x3 )=(l 2 2 0 )

Passo 1

O enunciado pede para transformar o sistema A x = b, com $\det A\neq0$, no sistema B x = c, onde $B=A^T A$ e $c=A^T b$, mostrar que $B$ admite decomposição de Cholesky $B=LL^T$ e usar esse fato para resolver o sistema dado. Vamos precisar de álgebra matricial, propriedades de simetria e positividade definida, e do procedimento de decomposição de Cholesky e resolução de sistemas triangulares.

Passo 2

Calculamos primeiro $B=A^TA$ e $c=A^Tb$. Com
B=A^TA
obtemos
c=A^Tb
pois cada entrada $B_{ij}=\sum_{k}A_{ki}A_{kj}$, e
A=1&0&11&1&01&-1&0, b=220,

Passo 3

Fazemos a decomposição de Cholesky $B=LL^T$ com L triangular inferior:
B=LL^T
Calculando passo a passo:
L= ell11&0&0 ell21&ell22&0 ell31&ell32&ell33
ell11=raiz3, ell21=0, ell31=1raiz3,
ell22=raiz2, ell32=0,
Assim
ell33=raiz1-13=raiztfrac23

Passo 4

Agora resolvemos em duas etapas: primeiro $Ly=c$, depois $L^T x=y$.
Para $Ly=c$:
Ly=c
L^T x=y
Ly=c
Para $L^T x=y$:
raiz3,y1=4implies y1=4raiz3,
raiz2,y2=2implies y2=raiz2,
1raiz3y1+raiztfrac23,y3=2implies y3=2/3raiz2/3=raiz63

Resposta

x1=1,;x2=1,;x3=1.

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