Mostre que se o sistema linear
,
, é transformado no sistema
, com
e
, então a matriz
pode ser decomposta em
como no exercício anterior. Aplique este procedimento para resolver o sistema abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para transformar o sistema A x = b, com $\det A\neq0$, no sistema B x = c, onde $B=A^T A$ e $c=A^T b$, mostrar que $B$ admite decomposição de Cholesky $B=LL^T$ e usar esse fato para resolver o sistema dado. Vamos precisar de álgebra matricial, propriedades de simetria e positividade definida, e do procedimento de decomposição de Cholesky e resolução de sistemas triangulares.
Passo 2
Calculamos primeiro $B=A^TA$ e $c=A^Tb$. Com
obtemos
pois cada entrada $B_{ij}=\sum_{k}A_{ki}A_{kj}$, e
Passo 3
Fazemos a decomposição de Cholesky $B=LL^T$ com L triangular inferior:
Calculando passo a passo:
Assim
Passo 4
Agora resolvemos em duas etapas: primeiro $Ly=c$, depois $L^T x=y$.
Para $Ly=c$:
Para $Ly=c$:
Para $L^T x=y$: