Resolva o sistema abaixo utilizando eliminação Gaussiana
(ccc 3 & 3 & 1 2 & 2 & -1 1 & -1 & 5 )(l x1 x2 x3 )=(l 7 3 5 )
Ao final, escreva a matriz triangular obtida A^(3) em termos do produto A^(3)=M A, isto é, determine M.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear por eliminação gaussiana e determinar a matriz triangular obtida A^(3) como A^(3)=M A, ou seja, encontrar o vetor solução x e a matriz M.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e o vetor de termos independentes b:
A = 3 & 3 & 1 2 & 2 & -1 1 & -1 & 5, b = 7 3 5

Passo 3

Primeiro passo de eliminação: zerar a21 e a31 usando os multiplicadores m21=tfrac23 e m31=tfrac13. Construímos a matriz elementar
E1 = 1 & 0 & 0 -tfrac23 & 1 & 0 -tfrac13 & 0 & 1
e calculamos
A^(1) = E1 A = 3 & 3 & 1 0 & 0 & -tfrac53 0 & -2 & tfrac143

Passo 4

Como o pivô a^(1)22=0, trocamos as linhas 2 e 3 para evitar pivô nulo. Definimos a matriz de permutação
P = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
e obtemos a forma triangular superior
A^(3) = P,A^(1) = 3 & 3 & 1 0 & -2 & tfrac143 0 & 0 & -tfrac53

Passo 5

Logo, a matriz que faz Ato A^(3) é
M = P,E1 = 1 & 0 & 0 -tfrac13 & 0 & 1 -tfrac23 & 1 & 0

Passo 6

Para encontrar x, calculamos M b e resolvemos o sistema triangular:
M b = 7 tfrac83 -tfrac53, A^(3) x = M b
resolve-se regressivamente dando x3=1, x2=1 e x1=1.

Resposta

A solução é
x = 111, A^(3) = 3 & 3 & 1 0 & -2 & tfrac143 0 & 0 & -tfrac53 , M = 1 & 0 & 0 -tfrac13 & 0 & 1 -tfrac23 & 1 & 0

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