Dada a tabela
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4
e^{3 x} 1 1.3499 1.8221 2.4596 3.3201
obtenha o valor de f(x)=x e^3 x no ponto 0.26 utilizando a fórmula de Lagrange de um polinômio interpolador do segundo grau. Estime o erro por meio da fórmula
|E(x)| <= 13!|(x-x0)(x-x1)(x-x2)| max t in(x0, x2) f^(3)(t), x0
e compare-o com o erro obtido na interpolação.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a função f(x)=x e^3x no ponto x=0,26 usando um polinômio interpolador de grau 2 (fórmula de Lagrange) a partir da tabela de valores de e^3x. Também precisamos estimar o erro via a fórmula |E(x)|<=13!l|(x-x0)(x-x1)(x-x2)r|maxtin[x0,x2]f^(3)(t)e comparar essa estimativa com o erro real da interpolação. Vamos usar nós próximos a 0{,}26, por exemplo x0=0,2, x1=0,3, x2=0,4.

Passo 2

Calculamos os valores de f(xi)=xi e^3xi usando a tabela:
f(0,2)&=0,2cdot1,8221=0,36442, f(0,3)&=0,3cdot2,4596=0,73788, f(0,4)&=0,4cdot3,3201=1,32804

Passo 3

Para montar o polinômio de Lagrange de grau 2 definimos as bases:
L0(x)=(x-0,3)(x-0,4)(0,2-0,3)(0,2-0,4), L1(x)=(x-0,2)(x-0,4)(0,3-0,2)(0,3-0,4), L2(x)=(x-0,2)(x-0,3)(0,4-0,2)(0,4-0,3)

Passo 4

Avaliamos Li(0,26) e montamos
P2(0,26)=sumi=0^2 f(xi)Li(0,26)=0,36442cdot0,28+0,73788cdot0,84+1,32804cdot(-0,12)approx0,56249

Passo 5

Para comparar, o valor exato é
f(0,26)=0,26,e^0,78approx0,56714,
o que gera um erro real
|f(0,26)-P2(0,26)|approx0,00465

Passo 6

Calculamos a terceira derivada de f(x)=x e^3x:
f'''(x)=27(1+x)e^3x
Em [0,2,0,4]) esse máximo ocorre em x=0,4, fornecendo
max f'''=27cdot1,4,e^1,2approx37,8cdot3,3201approx125,5

Passo 7

O fator |(0,26-0,2)(0,26-0,3)(0,26-0,4)|=0,000336. Logo a estimativa de erro é
|E(0,26)|<=16cdot0,000336cdot125,5approx0,00703
Essa cota é maior que o erro real (~0{,}00465), o que confirma a validade da estimativa.

Resposta

P2(0,26)approx0,56249 Erro real 0,00465, estimativa de erro <=0,00703, mostrando que o erro real fica abaixo da cota teórica.

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