Verifique se as funções abaixo satisfazem as equações de Cauchy-Riemann. E se possível, calcule a derivada f^prime(z).
f(z)=e^z^2

Passo 1

Beleza, vamos estudar a função
f(z) = e^z^2
Isso faz parte de funções de variável complexa e a gente quer verificar se ela satisfaz as equações de Cauchy–Riemann (CR) e, se rolar, achar a derivada . Para isso, a gente vai precisar:
  1. Escrever .
  2. Separar em parte real e imaginária .
  3. Calcular as derivadas parciais .
  4. Conferir se e .
  5. Usar uma das fórmulas de derivação em complexo pra achar .

Passo 2

Primeiro, expande z^2 = (x + i y)^2 = x^2 - y^2 + i,2xy :
f(z) = e^z^2 = e^x^2 - y^2 + i,2xy = e^x^2 - y^2,(cos(2xy) + isin(2xy))
Então
u(x,y) = e^x^2 - y^2cos(2xy), v(x,y) = e^x^2 - y^2sin(2xy)
Daí identificamos

Passo 3

Agora, as derivadas parciais:
  1. ux = partialpartial x[e^x^2 - y^2cos(2xy)] = e^x^2 - y^2(2xcos(2xy) - 2ysin(2xy)) :
uy = partialpartial y[e^x^2 - y^2cos(2xy)] = e^x^2 - y^2(-2ycos(2xy) - 2xsin(2xy))
  1. vx = partialpartial x[e^x^2 - y^2sin(2xy)] = e^x^2 - y^2(2xsin(2xy) + 2ycos(2xy)) :
vy = partialpartial y[e^x^2 - y^2sin(2xy)] = e^x^2 - y^2(-2ysin(2xy) + 2xcos(2xy))
  1. :
  1. :

Passo 4

Checa Cauchy–Riemann:
  • :
    ambos são
    .
  • :
    ,
    que é exatamente
    ,
    igual a .
Então as CR batem certinho em todo ponto . Conclusão: é holomorfa (analítica) em .

Passo 5

Para achar ddze^g(z) = g'(z),e^g(z) fica moleza se você lembrar que, pra funções do tipo f'(z) = 2z,e^z^2 , vale
Aqui , logo . Então

Resposta

A função boxedf'(z)=2z,e^z^2 satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em todo e sua derivada é

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