Verifique se as funções abaixo satisfazem as equações de Cauchy-Riemann. E se possível, calcule a derivada
.
Passo 1
Beleza, vamos estudar a função
Isso faz parte de funções de variável complexa e a gente quer verificar se ela satisfaz as equações de Cauchy–Riemann (CR) e, se rolar, achar a derivada
. Para isso, a gente vai precisar:
- Escrever
. - Separar
em parte real e imaginária . - Calcular as derivadas parciais
. - Conferir se
e . - Usar uma das fórmulas de derivação em complexo pra achar
.
Passo 2
Primeiro, expande
:
Então
Daí identificamos
Passo 3
Agora, as derivadas parciais:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 4
Checa Cauchy–Riemann:
-
:
ambos são
. -
:
,
que é exatamente
,
igual a.
Então as CR batem certinho em todo ponto
. Conclusão:
é holomorfa (analítica) em
.
Passo 5
Para achar
fica moleza se você lembrar que, pra funções do tipo
, vale
Aqui
, logo
. Então
Resposta
A função
satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em todo
e sua derivada é