Aproxime \int_{0}^{3} e^{x} \mathrm{~d} x
(a) por meio da regra dos 3 / 8 de Simpson;
(b) por meio da regra dos 3 / 8 de Simpson composta com m=6 subintervalos;
(c) por meio da regra dos 3 / 8 de Simpson composta com m=9 subintervalos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{3}e^{x}\,\mathrm{d}x
usando a regra dos 3/8 de Simpson nas versões:
  • (a) única com n=3 subintervalos;
  • (b) composta com m=6 subintervalos;
  • (c) composta com m=9 subintervalos.
Lembrando que, para a regra dos 3/8 de Simpson com n subintervalos (onde n é múltiplo de 3), definimos
h=\frac{b-a}{n},
e a fórmula composta fica
\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\approx \frac{3h}{8}\Bigl[f(x_{0})+f(x_{n}) +3\sum_{\substack{i=1\i\not\equiv0\pmod{3}}}^{n-1}f(x_{i}) +2\sum_{\substack{i=3\i\equiv0\pmod{3}}}^{n-3}f(x_{i})\Bigr].

Passo 2

Aplicando a regra única com n=3:
h=\frac{3-0}{3}=1,\quad x_{i}=0,1,2,3,\quad f(x)=e^{x}.
A fórmula é
\int_{0}^{3}e^{x}\,\mathrm{d}x \approx \frac{3h}{8}\bigl[f(0)+3f(1)+3f(2)+f(3)\bigr] =\frac{3\cdot1}{8}\bigl[e^{0}+3e^{1}+3e^{2}+e^{3}\bigr].
Substituindo e^{0}=1, e^{1}\approx2,71828, e^{2}\approx7,38906, e^{3}\approx20,0855, obtemos
\int_{0}^{3}e^{x}\,\mathrm{d}x\approx \tfrac{3}{8}(1+3\cdot2,71828+3\cdot7,38906+20,0855) \approx19,2778.

Passo 3

Agora com m=6 subintervalos ( n=6):
h=\frac{3-0}{6}=0,5,\quad x_{i}=0,0{,}5,1,\dots,3.
A regra composta dá
\int_{0}^{3}e^{x}\,\mathrm{d}x \approx \frac{3h}{8}\Bigl[f_{0}+f_{6} +3\sum_{i=1,2,4,5}f_{i} +2\,f_{3}\Bigr],
onde f_{i}=e^{x_{i}}. Calculando cada f_{i} e fazendo as somas, chega-se a
\int_{0}^{3}e^{x}\,\mathrm{d}x\approx19,1136.

Passo 4

Finalmente, com m=9 subintervalos ( n=9):
h=\frac{3-0}{9}=\tfrac{1}{3},\quad x_{i}=\tfrac{i}{3}\;(i=0,\dots,9).
A fórmula composta é
\int_{0}^{3}e^{x}\,\mathrm{d}x \approx \frac{3h}{8}\Bigl[f_{0}+f_{9} +3\sum_{\substack{i=1,2,4,5,7,8}}f_{i} +2\sum_{i=3,6}f_{i}\Bigr].
Substituindo f_{i}=e^{x_{i}} e computando, obtém-se
\int_{0}^{3}e^{x}\,\mathrm{d}x\approx19,0902.

Resposta

(a) 19,2778
(b) 19,1136
(c) 19,0902

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