Obtenha a regra dos 3 / 8 de Simpson I_{3} fazendo
I_{3}=\int_{a=x_{0}}^{b=x_{3}} P_{3}(x) \mathrm{d} x
onde P_{3} é o polinômio interpolador sobre os pontos \left(x_{i}, y_{i}\right), i=0,1,2,3, sendo x_{i}=x_{0}+i h e h=\frac{x_{3}-x_{0}}{3}.

Passo 1

O problema pede para derivar a regra de Newton–Cotes fechada de grau 3 (conhecida como regra de Simpson 3/8) aproximando
I_3=\int_{x_0}^{x_3}f(x)\,\mathrm{d}x
pelo integral do polinômio interpolador cúbico
P_3(x)=\sum_{i=0}^{3}y_i\,L_i(x),
onde L_i(x) são os polinômios de Lagrange nos nós \bigl(x_i,f(x_i)=y_i\bigr), com x_i=x_0+i\,h e h=(x_3-x_0)/3. Vamos usar interpolação de Lagrange e integração.

Passo 2

Escrevendo o polinômio de Lagrange em forma geral,
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{3}\frac{x - x_j}{x_i - x_j},
temos
I_3=\int_{x_0}^{x_3}P_3(x)\,\mathrm{d}x =\sum_{i=0}^{3}y_i\int_{x_0}^{x_3}L_i(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Para facilitar a integração, fazemos a mudança de variável
x=x_0+ h\,t,\quad t\in[0,3],\quad \mathrm{d}x=h\,\mathrm{d}t.
Definimos então os polinômios em t:
\ell_i(t)=L_i\bigl(x_0+h\,t\bigr),
e a integral fica
\int_{x_0}^{x_3}L_i(x)\,\mathrm{d}x =h\int_{0}^{3}\ell_i(t)\,\mathrm{d}t.

Passo 4

Calculamos as integrais dos \ell_i(t). Por exemplo, para i=0 tem-se
\ell_0(t) =\frac{(t-1)(t-2)(t-3)}{(0-1)(0-2)(0-3)} =-\frac{(t-1)(t-2)(t-3)}{6},
e
\int_{0}^{3}\ell_0(t)\,\mathrm{d}t =\frac{3}{8}.
Pela simetria dos nós igualmente espaçados, obtém-se
\int_{0}^{3}\ell_1(t)\,\mathrm{d}t =\int_{0}^{3}\ell_2(t)\,\mathrm{d}t =\frac{9}{8}, \quad \int_{0}^{3}\ell_3(t)\,\mathrm{d}t =\frac{3}{8}.

Passo 5

Substituindo em I_3:
I_3 =\sum_{i=0}^{3}y_i\,h\int_{0}^{3}\ell_i(t)\,\mathrm{d}t =h\Bigl(\tfrac{3}{8}y_0+\tfrac{9}{8}y_1+\tfrac{9}{8}y_2+\tfrac{3}{8}y_3\Bigr) =\frac{3h}{8}\bigl(y_0+3y_1+3y_2+y_3\bigr).

Resposta

\boxed{I_3 =\int_{x_0}^{x_3}f(x)\,\mathrm{d}x \approx\frac{3h}{8}\bigl[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr],\quad h=\frac{x_3-x_0}{3}.}

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