Obtenha a regra dos
de Simpson
fazendo
onde
é o polinômio interpolador sobre os pontos
, sendo
e
.
Passo 1
O problema pede para derivar a regra de Newton–Cotes fechada de grau 3 (conhecida como regra de Simpson
) aproximando
pelo integral do polinômio interpolador cúbico
onde
são os polinômios de Lagrange nos nós
, com
e
. Vamos usar interpolação de Lagrange e integração.
Passo 2
Escrevendo o polinômio de Lagrange em forma geral,
temos
Passo 3
Para facilitar a integração, fazemos a mudança de variável
Definimos então os polinômios em
:
e a integral fica
Passo 4
Calculamos as integrais dos
. Por exemplo, para
tem-se
e
Pela simetria dos nós igualmente espaçados, obtém-se
Passo 5
Substituindo em
: