Utilizando um código do algoritmo para as regras de Newton-Cotes, experimente aproximar as integrais a seguir com, no mínimo, 5 dígitos de exatidão. (Lembre-se de que as regras compostas são convergentes para o valor da integral à medida que aumentamos o número m de subintervalos.)
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (\cos x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\bigl(\cos x\bigr)\,dx
com pelo menos cinco dígitos de exatidão, usando regras compostas de Newton–Cotes. Vamos aplicar a regra composta de Simpson (Newton–Cotes de grau 2), que converge com passo h\to0 com erro O(h^4).

Passo 2

Para m subintervalos uniformes de largura
h = \frac{b-a}{m} = \frac{\frac{\pi}{2}-0}{m} = \frac{\pi}{2m},
a regra composta de Simpson é
S_m = \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0) + 4\sum_{j=1,\,j\text{ ímpar}}^{m-1}f(x_j) + 2\sum_{j=2,\,j\text{ par}}^{m-2}f(x_j) + f(x_m)\Bigr],í
onde x_j = a + jh e f(x)=\sin(\cos x).

Passo 3

Começamos com m=4. Então
h = \frac{\pi/2}{4} = \frac{\pi}{8}\approx0{,}39270
e os pontos são
x_0=0,\;x_1=\tfrac{\pi}{8},\;x_2=\tfrac{\pi}{4},\;x_3=\tfrac{3\pi}{8},\;x_4=\tfrac{\pi}{2}.
Calculando f(x_j):
\;f(x_0)=\sin(\cos0)=0{,}84147,
\;f(x_1)=0{,}79747,
\;f(x_2)=0{,}64964,
\;f(x_3)=0{,}37346,
\;f(x_4)=0.
Aplicando Simpson:
S_4 = \frac{h}{3}\bigl[0{,}84147 + 4(0{,}79747+0{,}37346)+2(0{,}64964)+0\bigr] \approx0{,}89390.

Passo 4

Agora com m=8,
h = \frac{\pi/2}{8} = \frac{\pi}{16}\approx0{,}19635,
calculamos S_8\approx0{,}89340 seguindo o mesmo procedimento e somas de f(x_j).

Passo 5

Como o erro de Simpson é O(h^4), podemos usar extrapolação de Richardson:
S_{\rm ext} = S_8 + \frac{S_8 - S_4}{2^4 - 1} =0{,}89340 + \frac{0{,}89340 - 0{,}89390}{15} \approx0{,}89337.
Estimamos que com m=16 o valor fique a poucos 10^{-6} de S_{\rm ext}, garantindo cinco dígitos estáveis.

Resposta

I \approx 0,89337 (precisão de cinco dígitos)

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