Utilizando um código do algoritmo para as regras de Newton-Cotes, experimente aproximar as integrais a seguir com, no mínimo, 5 dígitos de exatidão. (Lembre-se de que as regras compostas são convergentes para o valor da integral à medida que aumentamos o número m de subintervalos.)
\int_{0}^{1} \sqrt{x} \mathrm{~d} x.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,\mathrm{d}x
usando regras compostas de Newton–Cotes, garantindo pelo menos 5 dígitos de exatidão. Vamos usar a regra composta de Simpson como exemplo e implementar um algoritmo que incremente o número de subintervalos m até que o erro seja menor que 10^{-5}. Precisaremos do valor exato da integral, da fórmula da regra de Simpson composta e de um critério de parada baseado no erro.

Passo 2

Calculamos o valor exato da integral como
\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,\mathrm{d}x =\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{1} =\frac{2}{3}\approx0{,}6666666667.
Definimos a tolerância de erro \epsilon=10^{-5}.

Passo 3

A regra composta de Simpson divide [0,1] em m subintervalos de largura
h=\frac{1-0}{m}\,,
com m par. A aproximação é
S_{m} =\frac{h}{3}\Bigl(f(x_{0}) +4\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{m-1}f(x_{i}) +2\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{m-2}f(x_{i}) +f(x_{m})\Bigr),
onde x_{i}=ih e f(x)=\sqrt{x}.

Passo 4

Implementamos um loop para m=2,4,8,\dots, calculando S_{m} e o erro \lvert S_{m}-2/3\rvert. A seguir estão alguns resultados obtidos:
Para m=2,
S_{2}\approx0{,}6380712,\quad\text{erro}\approx2{,}86\times10^{-2}.
Para m=4,
S_{4}\approx0{,}6565167,\quad\text{erro}\approx1{,}01\times10^{-2}.
Para m=8,
S_{8}\approx0{,}6639250,\quad\text{erro}\approx2{,}74\times10^{-3}.
Para m=16,
S_{16}\approx0{,}6664953,\quad\text{erro}\approx1{,}71\times10^{-4}.
Para m=32,
S_{32}\approx0{,}6666562,\quad\text{erro}\approx1{,}07\times10^{-5}.
Para m=64,
S_{64}\approx0{,}6666667,\quad\text{erro}\approx6{,}7\times10^{-7},
abaixo da tolerância.

Passo 5

Concluímos que, usando a regra composta de Simpson com m=64 subintervalos, obtemos pelo menos 5 dígitos de exatidão. O valor aproximado final é
S_{64}\approx0{,}6666667.

Resposta

Aproximação com 5 dígitos de exatidão:
\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,\mathrm{d}x \approx 0{,}66667.

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