Obtenha a regra dos 3 / 8 de Simpson composta para m subintervalos.

Passo 1

O enunciado pede a regra composta de Simpson 3/8 em [a,b] usando m subintervalos de mesma largura. O conteúdo é quadratura numérica (integração aproximada) e para isso vamos:
  1. dividir [a,b] em N subintervalos iguais, lembrando que a regra 3/8 exige N=3m;
  2. aplicar a fórmula de Simpson 3/8 em cada bloco de três subintervalos;
  3. somar as contribuições para obter a forma composta.

Passo 2

Definimos N=3m e a malha
x_i = a + i\,h,\quad i=0,1,\dots,N,
com
h = \frac{b - a}{N} = \frac{b - a}{3m}.
Em cada bloco de três subintervalos [x_{3j},x_{3j+3}] (para j=0,1,\dots,m-1) aplicamos a regra básica de Simpson 3/8.

Passo 3

A regra de Simpson 3/8 num só bloco [x_{3j},x_{3j+3}] diz
\int_{x_{3j}}^{x_{3j+3}} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\bigl(f_{3j} + 3f_{3j+1} + 3f_{3j+2} + f_{3j+3}\bigr),
onde f_i = f(x_i).

Passo 4

Somando de j=0 até j=m-1, obtemos a versão composta:
\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{j=0}^{m-1}\frac{3h}{8}\bigl(f_{3j} + 3f_{3j+1} + 3f_{3j+2} + f_{3j+3}\bigr).
Ao recolher coeficientes iguais para cada f_i, nota-se que:
  • f_0 e f_N=f_{3m} aparecem apenas uma vez;
  • cada f_i com i\not\equiv 0\pmod3 vem com coeficiente 3;
  • cada f_i com i\equiv 0\pmod3 e 0<i<3m vem com coeficiente 2 (porque aparece em dois blocos adjacentes).

Passo 5

Portanto, a regra composta final é
\boxed{ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\Biggl[f_0 + 3\sum_{\substack{i=1\i\not\equiv0\pmod3}}^{3m-1} f_i + 2\sum_{\substack{i=3\i\equiv0\pmod3}}^{3m-3} f_i + f_{3m}\Biggr], }
com h=(b-a)/(3m).

Resposta

\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\Bigl[f(x_0) + 3\sum_{\substack{i=1\i\not\equiv0\pmod3}}^{3m-1} f(x_i) + 2\sum_{\substack{i=3\i\equiv0\pmod3}}^{3m-3} f(x_i) + f(x_{3m})\Bigr],
onde h=(b-a)/(3m) e x_i=a+i\,h.

Exercícios relacionados