Aproxime a integral \int_{1}^{4} \ln x \mathrm{~d} x por meio da regra do trapézio com m=6 subintervalos.

Passo 1

O enunciado pede aproximar a integral
\int_{1}^{4} \ln x \,\mathrm{d}x
usando a regra do trapézio com m=6 subintervalos. O conteúdo aqui é método numérico para integrais definidas, em que dividimos o intervalo [1,4] em partes iguais e aplicamos a fórmula do trapézio para obter uma aproximação.

Passo 2

Calculamos o tamanho de cada subintervalo:
h = \frac{4 - 1}{6} = 0{,}5.
Definimos os pontos
x_i = 1 + i\,h,\quad i = 0,1,\dots,6,
isto é
x_0=1,\;x_1=1{,}5,\;x_2=2,\;x_3=2{,}5,\;x_4=3,\;x_5=3{,}5,\;x_6=4.
E avaliamos
f(x_i)=\ln(x_i).

Passo 3

A fórmula da regra do trapézio com m subintervalos é
\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{h}{2}\Bigl(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{m-1}f(x_i)+f(x_m)\Bigr).
Aqui a=1, b=4, m=6 e h=0{,}5.

Passo 4

Calculamos os valores numéricos:
\begin{aligned} f(x_0)&=\ln(1)=0,\\\ f(x_1)&=\ln(1{,}5)\approx0{,}405465,\\\ f(x_2)&=\ln(2)\approx0{,}693147,\\\ f(x_3)&=\ln(2{,}5)\approx0{,}916291,\\\ f(x_4)&=\ln(3)\approx1{,}098612,\\\ f(x_5)&=\ln(3{,}5)\approx1{,}252763,\\\ f(x_6)&=\ln(4)\approx1{,}386294. \end{aligned}
A soma interna é
\sum_{i=1}^{5}f(x_i)\approx0{,}405465+0{,}693147+0{,}916291+1{,}098612+1{,}252763=4{,}366278.
Logo a aproximação pela regra do trapézio é
\int_{1}^{4}\ln x\,\mathrm{d}x \approx \frac{0{,}5}{2}\Bigl(f(x_0)+2\cdot4{,}366278+f(x_6)\Bigr) =0{,}25\bigl(0+8{,}732556+1{,}386294\bigr) =0{,}25\cdot10{,}118850 =2{,}5297125.

Resposta

Aproximação pela regra do trapézio com m=6 é
2{,}5297\\ (\text{aproximadamente}).

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