Mostre que a regra do trapézio
pode ser obtida integrando-se o polinômio interpolador de grau 1 sobre os pontos
e (
) no intervalo [
].
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao aproximar
por seu polinômio interpolador de grau 1 nos pontos
e
, a integral aproximada
é exatamente a regra do trapézio
onde definimos
. Para isso vamos: (i) construir o polinômio de Lagrange de grau 1 e (ii) integrá-lo de
a
.
Passo 2
Os polinômios básicos de Lagrange são
Assim, o polinômio interpolador de grau 1 é
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Passo 3
Calculemos
. Como
temos
Passo 4
Analogamente, como
segue-se
Passo 5
Substituindo no integral de
, obtemos
que é exatamente a fórmula do trapézio.