Mostre que a regra do trapézio I_{1}=\frac{h}{2}\left(y_{0}+y_{1}\right) pode ser obtida integrando-se o polinômio interpolador de grau 1 sobre os pontos \left(x_{0}, y_{0}\right) e ( x_{1}, y_{1} ) no intervalo [ x_{0}, x_{1} ].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao aproximar f(x) por seu polinômio interpolador de grau 1 nos pontos \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) e \bigl(x_{1},y_{1}\bigr), a integral aproximada
I_{1}=\int_{x_{0}}^{x_{1}}p_{1}(x)\,dx
é exatamente a regra do trapézio
I_{1}=\frac{h}{2}\bigl(y_{0}+y_{1}\bigr),
onde definimos h = x_{1}-x_{0}. Para isso vamos: (i) construir o polinômio de Lagrange de grau 1 e (ii) integrá-lo de x_{0} a x_{1}.

Passo 2

Os polinômios básicos de Lagrange são
L_{0}(x)=\frac{x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}} \quad\text{e}\quad L_{1}(x)=\frac{x - x_{0}}{x_{1}-x_{0}}.
Assim, o polinômio interpolador de grau 1 é
p_{1}(x)=y_{0}\,L_{0}(x)+y_{1}\,L_{1}(x).
Logo
\int_{x_{0}}^{x_{1}}p_{1}(x)\,dx = y_{0}\int_{x_{0}}^{x_{1}}L_{0}(x)\,dx + y_{1}\int_{x_{0}}^{x_{1}}L_{1}(x)\,dx.

Passo 3

Calculemos \displaystyle\int_{x_{0}}^{x_{1}}L_{0}(x)\,dx. Como
L_{0}(x)=\frac{x_{1}-x}{h},
temos
\int_{x_{0}}^{x_{1}}L_{0}(x)\,dx = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{1}}\bigl(x_{1}-x\bigr)\,dx = \frac{1}{h}\Bigl[x_{1}x-\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{x_{0}}^{x_{1}} = \frac{1}{h}\biggl(\frac{h^{2}}{2}\biggr) = \frac{h}{2}.

Passo 4

Analogamente, como
L_{1}(x)=\frac{x - x_{0}}{h},
segue-se
\int_{x_{0}}^{x_{1}}L_{1}(x)\,dx = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{1}}(x-x_{0})\,dx = \frac{1}{h}\Bigl[\tfrac{(x-x_{0})^{2}}{2}\Bigr]_{x_{0}}^{x_{1}} = \frac{1}{h}\biggl(\frac{h^{2}}{2}\biggr) = \frac{h}{2}.

Passo 5

Substituindo no integral de p_{1}, obtemos
I_{1} = y_{0}\,\frac{h}{2} + y_{1}\,\frac{h}{2} = \frac{h}{2}\bigl(y_{0}+y_{1}\bigr),
que é exatamente a fórmula do trapézio.

Resposta

I_{1} \;=\;\frac{h}{2}\bigl(y_{0}+y_{1}\bigr).

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