Aproxime a integral \int_{1}^{5} 2 x+1 \mathrm{~d} x pela regra do trapézio com m=1 subintervalo. Por que o resultado é exato?

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{1}^{5}(2x+1)\,dx
pela regra do trapézio com m=1 subintervalo. O conteúdo aqui é integração numérica pelo trapézio, cuja fórmula para um único subintervalo de comprimento h em [a,b] é
T_1 = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr).

Passo 2

Calcular o comprimento do subintervalo e os valores de f nas extremidades:
h = \frac{b-a}{m} = \frac{5-1}{1} = 4,
f(1) = 2\cdot1 + 1 = 3,
f(5) = 2\cdot5 + 1 = 11.

Passo 3

Aplicar a fórmula do trapézio:
T_1 = \frac{h}{2}\bigl(f(1)+f(5)\bigr) = \frac{4}{2}\,(3+11) = 2 \times 14 = 28.

Passo 4

Verificar o valor exato da integral:
\int(2x+1)\,dx = x^2 + x + C,
então
\int_{1}^{5}(2x+1)\,dx = \bigl[\,x^2 + x\bigr]_{1}^{5} = (25+5) - (1+1) = 30 - 2 = 28.

Passo 5

A aproximação deu exatamente 28 porque a regra do trapézio é exata para funções polinomiais de grau até 1, e o integrando 2x+1 é uma função linear.

Resposta

28

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