Aproxime a integral \int_{0}^{3} e^{-x} \mathrm{~d} x
(a) por meio da regra do 1 / 3 de Simpson;
(b) por meio da regra do 1 / 3 de Simpson composta com m=6 subintervalos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
I = \int_{0}^{3} e^{-x}\,\mathrm{d}x
usando (a) a regra de Simpson \tfrac{1}{3} com dois subintervalos e (b) a regra composta de Simpson \tfrac{1}{3} com m=6 subintervalos. Vamos empregar a fórmula
\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{h}{3}\bigl[f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_{n})\bigr],
onde h=(b-a)/n e n é par.

Passo 2

Para (a) usamos n=2. Logo
h = \frac{3-0}{2} = 1{,}5,
e os nós são
\,x_{0}=0,\;x_{1}=1{,}5,\;x_{2}=3.
A regra de Simpson dá
I_{\text{Simpson}} = \frac{h}{3}\Bigl[f(0)+4f(1{,}5)+f(3)\Bigr] = \frac{1{,}5}{3}\Bigl[e^{0}+4e^{-1{,}5}+e^{-3}\Bigr].

Passo 3

Substituindo f(x)=e^{-x} e avaliando numericamente:
I_{\text{Simpson}} = 0{,}5\Bigl[1 +4e^{-1{,}5}+e^{-3}\Bigr] \approx 0{,}5\bigl[1 +4\cdot0{,}2231 +0{,}0498\bigr] \approx 0{,}9711.

Passo 4

Para (b) usamos n=m=6. Então
h = \frac{3-0}{6} = 0{,}5
e os nós são
\,x_{i}=0{,}5\,i para i=0,1,\dots,6.
A soma de Simpson composta é
I_{\text{comp}} = \frac{h}{3}\Bigl[f_{0} +4\sum_{i\text{ ímpar}}f_{i}+2\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,6}f_{i} +f_{6}\Bigr].í

Passo 5

Aqui
\sum_{i\text{ ímpar}}f_{i}=f(0{,}5)+f(1{,}5)+f(2{,}5), \quad \sum_{i\text{ par},\,i\neq0,6}f_{i}=f(1)+f(2).í
Portanto
I_{\text{comp}} = \frac{0{,}5}{3}\Bigl[e^{0}+4\bigl(e^{-0{,}5}+e^{-1{,}5}+e^{-2{,}5}\bigr) +2\bigl(e^{-1}+e^{-2}\bigr)+e^{-3}\Bigr].

Passo 6

Aproximando os expoenciais:
I_{\text{comp}} \approx \frac{0{,}5}{3}\bigl[1 +4(0{,}6065+0{,}2231+0{,}0821) +2(0{,}3679+0{,}1353)+0{,}0498\bigr] \approx 0{,}9505.

Resposta

(a) I\approx0{,}9711.
(b) I\approx0{,}9505.

Exercícios relacionados