- Aproxime a raiz de
usando o método de Newton com
. Realize 6 iterações.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede: aproximar a raiz da função
usando o método de Newton com ponto inicial
. Devemos realizar exatamente 6 iterações (ou seja, calcular
).
- Dados relevantes:
- Objetivo prático: aplicar a fórmula iterativa de Newton repetidamente para obter
.
Passo 2
Apresentação da fórmula do método de Newton e cálculo da derivada (ferramentas que usaremos).
- No método de Newton, a iteração é dada por
Aqui
é a aproximação atual,
é a próxima aproximação,
é a função e
é a derivada de
.
- Vamos calcular
. Derivando obtemos
- Em cada iteração vamos:
- calcular
, - calcular
, - formar
, - calcular
.
- calcular
Vou fazer contas passo a passo, mostrando como obter os valores numéricos e dando explicações pequenas quando aparecerem simplificações (por exemplo, frações exatas).
Passo 3
Cálculo de
.
- Começo com
. - Calcular
: - Calcular
: - Formar a fração
- Aplicar Newton:
- Em decimal (útil para as próximas contas):
Passo 4
Cálculo de
(mostrando frações exatas e depois decimal).
- Primeiro calcule
e em . - Calcular
: Colocando em denominador comum : Ou seja . - Calcular
: - Formar a razão:
- Aplicar Newton:
Converter para denominador : . Então Portanto temos uma expressão racional exata: - Em decimal, fazendo a divisão longa (ou calculadora), obtemos
(apresentei casas suficientes para as próximas contas).
Passo 5
Cálculo de
(detalhando como calcular
e
numericamente).
- Vamos usar
. - Primeiro calculo
e com precisão razoável: -
. (faço a multiplicação com cuidado e mostro técnica: calculei dividindo em partes e somando.) -
-
- Agora
: Calcular . Assim - Calcular
: - Formar a razão
: - Aplicar Newton:
Observação didática rápida: note que a fração
é o “corretor” que ajusta
. Aqui o corretor é pequeno (da ordem
), então já estamos bem próximos da raiz.
Passo 6
Cálculo de
. usar a ideia de que o erro diminui rapidamente (quadraticamente), mas vou calcular explicitamente para seguir as 6 iterações.
- Começo com
. - Calculo
e (usando o truque para não refazer multiplicações longas): - A diferença
. - Usando
, obtenho - Então
(produto feito com cuidado).
- A diferença
- Agora
: Calcular . Assim (Uma estimativa alternativa: pelo próprio método de Newton, depois de uma iteração o resto tende a ser da ordem do quadrado do erro anterior; este valor pequeno confirma que já estamos muito próximos.) - Calcular
: - Formar a razão:
- Aplicar Newton:
Nota didática: já aqui percebemos a convergência quadrática do método de Newton — o corretor caiu de
para
. A partir de agora as correções serão extremamente pequenas.
Passo 7
Cálculo de
e
(mostrar que mudanças são desprezíveis e dar valores numéricos).
- Como
já era da ordem de , a próxima correção será da ordem do quadrado desse erro (ou menor). Podemos estimar o tamanho do próximo corretor usando o fato de que, para Newton, o erro satisfa z aproximadamente onde é a raiz e fica entre e . Aqui e numericamente essa constante é da ordem de , e está em torno de , então o fator à frente é algo como . Assim a correção seguinte vale aproximadamente (constante) , ou seja da ordem de – . - Portanto já na iteração
a mudança em relação a é da ordem — desprezível para 10 casas decimais. - Assim, numericamente,
e - Ou seja, até 8–10 casas decimais as aproximações já estão paradas (convergência atingida ao nível numérico desejável).