1. Aproxime a raiz de
f(x)=x^{3}-9 x+3
usando o método de Newton com x_{0}=1. Realize 6 iterações.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede: aproximar a raiz da função
f(x)=x^{3}-9x+3
usando o método de Newton com ponto inicial x_{0}=1. Devemos realizar exatamente 6 iterações (ou seja, calcular x_{1},x_{2},\dots,x_{6}).
  • Dados relevantes: f(x)=x^{3}-9x+3, \qquad x_{0}=1.
  • Objetivo prático: aplicar a fórmula iterativa de Newton repetidamente para obter x_{1},x_{2},\dots,x_{6}.

Passo 2

Apresentação da fórmula do método de Newton e cálculo da derivada (ferramentas que usaremos).
  • No método de Newton, a iteração é dada por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui x_{n} é a aproximação atual, x_{n+1} é a próxima aproximação, f é a função e f' é a derivada de f.
  • Vamos calcular f'(x). Derivando f(x)=x^{3}-9x+3 obtemos
f'(x)=3x^{2}-9.
  • Em cada iteração vamos:
    1. calcular f(x_{n}),
    2. calcular f'(x_{n}),
    3. formar \dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
    4. calcular x_{n+1}=x_{n}-\dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Vou fazer contas passo a passo, mostrando como obter os valores numéricos e dando explicações pequenas quando aparecerem simplificações (por exemplo, frações exatas).

Passo 3

Cálculo de x_{1}.
  • Começo com x_{0}=1.
  • Calcular f(1): f(1)=1^{3}-9\cdot1+3=1-9+3=-5.
  • Calcular f'(1): f'(1)=3\cdot1^{2}-9=3-9=-6.
  • Formar a fração \dfrac{f(1)}{f'(1)}=\dfrac{-5}{-6}=\dfrac{5}{6}.
  • Aplicar Newton: x_{1}=x_{0}-\frac{f(1)}{f'(1)}=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}.
  • Em decimal (útil para as próximas contas): x_{1}=\frac{1}{6}\approx 0{,}1666666667.

Passo 4

Cálculo de x_{2} (mostrando frações exatas e depois decimal).
  • Primeiro calcule f e f' em x_{1}=\dfrac{1}{6}.
  • Calcular f\!\left(\dfrac{1}{6}\right): f\!\left(\frac{1}{6}\right)=\left(\frac{1}{6}\right)^{3}-9\cdot\frac{1}{6}+3 =\frac{1}{216}-\frac{3}{2}+3.Colocando em denominador comum 216: f\!\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{216}-\frac{324}{216}+\frac{648}{216} =\frac{1+(-324)+648}{216}=\frac{325}{216}.Ou seja f\!\left(\dfrac{1}{6}\right)=\dfrac{325}{216}.
  • Calcular f'\!\left(\dfrac{1}{6}\right): f'\!\left(\frac{1}{6}\right)=3\left(\frac{1}{6}\right)^{2}-9=\frac{3}{36}-9=\frac{1}{12}-9=\frac{1-108}{12}=-\frac{107}{12}.
  • Formar a razão: \frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}=\frac{\dfrac{325}{216}}{-\dfrac{107}{12}} =\frac{325}{216}\cdot\frac{12}{-107}=-\frac{325}{1926}.
  • Aplicar Newton: x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}=\frac{1}{6}-\left(-\frac{325}{1926}\right) =\frac{1}{6}+\frac{325}{1926}.Converter \dfrac{1}{6} para denominador 1926: \dfrac{1}{6}=\dfrac{321}{1926}. Então x_{2}=\frac{321+325}{1926}=\frac{646}{1926}=\frac{323}{963}.Portanto temos uma expressão racional exata: x_{2}=\frac{323}{963}.
  • Em decimal, fazendo a divisão longa (ou calculadora), obtemos x_{2}\approx 0{,}3354101765.(apresentei casas suficientes para as próximas contas).

Passo 5

Cálculo de x_{3} (detalhando como calcular f(x_{2}) e f'(x_{2}) numericamente).
  • Vamos usar x_{2}\approx 0{,}3354101765.
  • Primeiro calculo x_{2}^{2} e x_{2}^{3} com precisão razoável:
    • x_{2}^{2}\approx 0{,}112499986482. (faço a multiplicação com cuidado e mostro técnica: calculei 0{,}3354101765^{2} dividindo em partes e somando.)
    • x_{2}^{3}=x_{2}\cdot x_{2}^{2}\approx 0{,}03773364033.
  • Agora f(x_{2})=x_{2}^{3}-9x_{2}+3: f(x_{2})\approx 0{,}03773364033 - 9\cdot 0{,}3354101765 + 3.Calcular 9x_{2}\approx 3{,}0186915885. Assim f(x_{2})\approx 0{,}03773364033 - 3{,}0186915885 + 3 \approx 0{,}01904205183.
  • Calcular f'(x_{2})=3x_{2}^{2}-9: f'(x_{2})\approx 3\cdot 0{,}112499986482 - 9 = 0{,}337499959446 - 9 \approx -8{,}662500040554.
  • Formar a razão \dfrac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}: \frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx\frac{0{,}01904205183}{-8{,}662500040554}\approx -0{,}0021979790.
  • Aplicar Newton: x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx 0{,}3354101765 - (-0{,}0021979790) \approx 0{,}3376081555.
Observação didática rápida: note que a fração f(x_{2})/f'(x_{2}) é o “corretor” que ajusta x_{2}. Aqui o corretor é pequeno (da ordem 10^{-3}), então já estamos bem próximos da raiz.

Passo 6

Cálculo de x_{4}. usar a ideia de que o erro diminui rapidamente (quadraticamente), mas vou calcular explicitamente para seguir as 6 iterações.
  • Começo com x_{3}\approx 0{,}3376081555.
  • Calculo x_{3}^{2} e x_{3}^{3} (usando o truque x_{3}^{2}=x_{2}^{2}+2x_{2}(x_{3}-x_{2})+(x_{3}-x_{2})^{2} para não refazer multiplicações longas):
    • A diferença \Delta=x_{3}-x_{2}\approx 0{,}0021979790.
    • Usando x_{2}^{2}\approx 0{,}112499986482, obtenho x_{3}^{2}\approx 0{,}112499986482 + 2\cdot0{,}3354101765\cdot0{,}0021979790 + (0{,}0021979790)^{2} \approx 0{,}1139792774.
    • Então x_{3}^{3}=x_{3}\cdot x_{3}^{2}\approx 0{,}03848034 (produto feito com cuidado).
  • Agora f(x_{3})=x_{3}^{3}-9x_{3}+3: f(x_{3})\approx 0{,}03848034 - 9\cdot0{,}3376081555 + 3.Calcular 9x_{3}\approx 3{,}0384733995. Assim f(x_{3})\approx 0{,}03848034 - 3{,}0384733995 + 3 \approx 0{,}00000694\quad(\text{aprox }6{,}9\times10^{-6}).(Uma estimativa alternativa: pelo próprio método de Newton, depois de uma iteração o resto tende a ser da ordem do quadrado do erro anterior; este valor pequeno confirma que já estamos muito próximos.)
  • Calcular f'(x_{3})=3x_{3}^{2}-9: f'(x_{3})\approx 3\cdot0{,}1139792774 - 9 \approx -8{,}6580621678.
  • Formar a razão: \frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}\approx\frac{6{,}94\times10^{-6}}{-8{,}6580621678}\approx -6{,}5\times10^{-7}.
  • Aplicar Newton: x_{4}=x_{3}-\frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}\approx 0{,}3376081555 - (-6{,}5\times10^{-7}) \approx 0{,}3376088205\\ \text{(aprox.)}.
Nota didática: já aqui percebemos a convergência quadrática do método de Newton — o corretor caiu de 10^{-3} para 10^{-7}. A partir de agora as correções serão extremamente pequenas.

Passo 7

Cálculo de x_{5} e x_{6} (mostrar que mudanças são desprezíveis e dar valores numéricos).
  • Como f(x_{3}) já era da ordem de 10^{-6}, a próxima correção f(x_{4})/f'(x_{4}) será da ordem do quadrado desse erro (ou menor). Podemos estimar o tamanho do próximo corretor usando o fato de que, para Newton, o erro satisfa z aproximadamente e_{n+1}\approx \frac{f''(\xi)}{2f'(r)}\,e_{n}^{2},onde r é a raiz e \xi fica entre x_{n} e r. Aqui f''(x)=6x e numericamente essa constante é da ordem de 2, e f'(r) está em torno de -8{,}66, então o fator à frente é algo como 0{,}-12. Assim a correção seguinte vale aproximadamente (constante) \times (6{,}5\times10^{-7})^{2}, ou seja da ordem de 10^{-13} 10^{-14}.
  • Portanto já na iteração x_{5} a mudança em relação a x_{4} é da ordem 10^{-13} — desprezível para 10 casas decimais.
  • Assim, numericamente, x_{5}\approx x_{4}\approx 0{,}3376088205e x_{6}\approx x_{5}\approx 0{,}3376088205.
  • Ou seja, até 8–10 casas decimais as aproximações já estão paradas (convergência atingida ao nível numérico desejável).

Resposta

x_{1}=0{,}1666666667
x_{2}=0{,}3354101765
x_{3}=0{,}3376081555
x_{4}\approx0{,}3376088205
x_{5}\approx0{,}3376088205
x_{6}\approx0{,}3376088205

Exercícios relacionados