Aproxime a seguinte integral e calcule os erros de integração (ou cotas máximas)
\int_{1}^{4} \ln \left(x^{3}\right) d x
considerando:
Uma única aplicação da regra dos 3 / 8 de Simpson.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{1}^{4}\ln\bigl(x^{3}\bigr)\,dx
usando uma única aplicação da regra de Simpson 3/8, e calcular tanto o erro real aproximado quanto uma cota máxima de erro. O conteúdo é integração numérica via Newton–Cotes de grau 3 e a estimativa de erro usa a derivada quarta de f(x)=\ln(x^{3}).

Passo 2

Primeiro identificamos
f(x)=\ln\bigl(x^{3}\bigr)=3\ln(x),
o intervalo [a,b]=[1,4] e o passo
h=\frac{b-a}{3}=\frac{4-1}{3}=1.
Os pontos são
x_{0}=1,\quad x_{1}=2,\quad x_{2}=3,\quad x_{3}=4.
Calculamos f nesses pontos:
f(x_{0})=3\ln(1)=0,\quad f(x_{1})=3\ln(2)\approx2{,}0794,\quad f(x_{2})=3\ln(3)\approx3{,}2958,\quad f(x_{3})=3\ln(4)\approx4{,}1589.

Passo 3

Aplicando a regra de Simpson 3/8 numa só subintervalo,
\int_{1}^{4}f(x)\,dx\approx \frac{3h}{8}\bigl[f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+f(x_{3})\bigr].
Substituindo valores,
\int_{1}^{4}\ln(x^{3})\,dx\approx \frac{3\cdot1}{8}\bigl[0+3\cdot2{,}0794+3\cdot3{,}2958+4{,}1589\bigr] =\frac{3}{8}\cdot20{,}2845\approx7{,}6067.

Passo 4

Para a cota de erro, achamos a quarta derivada de f:
f'(x)=\frac{3}{x},\; f''(x)=-\frac{3}{x^{2}},\; f'''(x)=\frac{6}{x^{3}},\; f''''(x)=-\frac{18}{x^{4}}.
Em [1,4], \bigl|f''''(x)\bigr| atinge máximo em x=1, logo
M=\max_{1\le x\le4}\bigl|f''''(x)\bigr|=18.
O erro de Simpson 3/8 numa aplicação única satisfaz
\bigl|E\bigr|\le \frac{(b-a)^{5}}{6480}\,M
com b-a=3. Assim,
\bigl|E\bigr|\le \frac{3^{5}}{6480}\cdot18 =\frac{243\cdot18}{6480} =\frac{4374}{6480}\approx0{,}6750.

Passo 5

Se quisermos o erro real aproximado, podemos usar o valor exato da integral
\int_{1}^{4}3\ln(x)\,dx =3\bigl[x\ln(x)-x\bigr]_{1}^{4} =3\bigl(4\ln4-4-0+1\bigr) =12\ln4-9\approx7{,}6355,
portanto
\bigl|E_{\text{real}}\bigr| =\bigl|7{,}6355-7{,}6067\bigr|\approx0{,}0288.

Resposta

Aproximação pela regra 3/8:
\int_{1}^{4}\ln(x^{3})\,dx\approx7{,}6067.
Erro real aproximado:
\bigl|E_{\text{real}}\bigr|\approx0{,}0288.
Cota máxima de erro:
\bigl|E\bigr|\le0{,}6750.

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