Aproxime a seguinte integral e calcule os erros de integração (ou cotas máximas)
\int_{1}^{4} \ln \left(x^{3}\right) d x
considerando:
Aplicação da regra do 1 / 3 de Simpson repetida com 6 segmentos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{1}^{4} \ln\bigl(x^{3}\bigr)\,dx
usando a regra composta de Simpson 1/3 com 6 subintervalos, e em seguida calcular o erro e uma cota máxima para ele. Vamos usar:
\bullet a fórmula composta de Simpson
\bullet o fato de \ln(x^{3})=3\ln x \bullet o cálculo da derivada quarta de f(x)=3\ln x para a cota de erro.

Passo 2

Como são 6 subintervalos em [1,4], temos
h = \frac{4-1}{6} = 0{,}5.
Definimos f(x)=\ln(x^{3})=3\ln x e os nós
x_{k} = 1 + k\,h,\quad k=0,1,\dots,6.
A regra composta de Simpson diz:
S = \frac{h}{3}\bigl[f(x_{0}) + 4\!\!\sum_{\substack{k=1\k\text{ ímpar}}}^{5} f(x_{k}) +2\!\!\sum_{\substack{k=2\k\text{ par}}}^{4} f(x_{k}) + f(x_{6})\bigr].

Passo 3

Calculamos f(x_{k}):
\begin{aligned} f(1)&=3\ln1=0,\\\ f(1{,}5)&=3\ln(1{,}5)\approx1{,}216395,\\\ f(2)&=3\ln2\approx2{,}079441,\\\ f(2{,}5)&=3\ln(2{,}5)\approx2{,}748873,\\\ f(3)&=3\ln3\approx3{,}295837,\\\ f(3{,}5)&=3\ln(3{,}5)\approx3{,}758289,\\\ f(4)&=3\ln4\approx4{,}158882. \end{aligned}
Somamos os termos ímpares e pares:
\sum_{k\text{ ímpar}}f(x_{k})=1{,}216395+2{,}748873+3{,}758289=7{,}723557,í
\sum_{k\text{ par}}f(x_{k})=2{,}079441+3{,}295837=5{,}375278.

Passo 4

Aplicando Simpson:
S = \frac{0{,}5}{3}\Bigl[0 +4\cdot7{,}723557 +2\cdot5{,}375278 +4{,}158882\Bigr] = \frac{1}{6}\cdot45{,}803666 \approx7{,}633944.

Passo 5

Para achar o valor exato, integramos
\int \!3\ln x\,dx =3\bigl(x\ln x -x\bigr)+C.
Logo
\int_{1}^{4}3\ln x\,dx =3\bigl[4\ln4-4 - (1\ln1-1)\bigr] =12\ln4-9\approx7{,}635528.

Passo 6

O erro real é
E_{\text{real}} = \bigl|7{,}635528 -7{,}633944\bigr|\approx0{,}001584.

Passo 7

Para a cota de erro de Simpson composta usamos
\bigl|E\bigr|\le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\max_{x\in[1,4]} \bigl|f^{(4)}(x)\bigr|.
Como f(x)=3\ln x temos
f^{(4)}(x)=-\frac{18}{x^{4}},\quad \max_{[1,4]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|=\frac{18}{1^{4}}=18.
Logo
\bigl|E\bigr|\le \frac{3}{180}\,(0{,}5)^{4}\cdot18 =0{,}01875.

Resposta

A aproximação pela regra composta de Simpson é
\int_{1}^{4}\ln(x^{3})\,dx\approx7{,}633944,
o erro real é aproximadamente 0{,}001584 e a cota máxima de erro é 0{,}01875.

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