Os dados abaixo relacionam os pesos (em centenas de libras) e as taxas de consumo de combustível em rodovia (em mi/gal) para uma amostra de 6 carros de passeio de certo modelo.
x (peso) 29 35 28 44 25 34
y (consumo) 31 27 29 25 31 29
a) Ajuste um modelo de regressão linear simples, pelo método dos mínimos quadrados.
b) Calcule o valor da função Soma dos Quadradados dos Resíduos \left(\mathrm{S}\left(b_{0}, b_{1}\right)\right).
c) É possível obter outro ajuste linear com uma menor soma de quadrados dos resíduos do que a obtida em (c)? Justifique.
d) Calcule o valor do coeficiente de determinação R^{2} e interprete seu resultado.
e) Calcule a estimativa da variância residual.
f) Ajuste um modelo de regressão polinomial, de grau 2, pelo método dos mínimos quadrados.
g) Calcule o valor do coeficiente de determinação R^{2} e interprete seu resultado.
h) Calcule a estimativa da variância residual.
i) Calcule o AIC para ambos modelos e indique o mais adequado.
j) Considerando o modelo final selecionado, estime o consumo de combustível, em mi/gal, para um carro com peso de 40 centenas de libras. O modelo de regressão encontrado é adequado para obter essa estimativa? Justifique.
k) Considerando o modelo final selecionado, estime o consumo de combustível, em mi/gal, para um carro com peso de 50 centenas de libras. O modelo de regressão encontrado é adequado para obter essa estimativa? Justifique.
  1. Por que, neste exemplo, se queremos encontrar um valor de consumo para um peso não tabelado, é mais adequado o uso de modelo de regressão linear ao invés de interpolação polinomial?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=6 pares (x_i,y_i), em que x é o peso (centenas de libras) e y o consumo em mi/gal, e pede:
– Ajuste de regressão linear simples por mínimos quadrados.
– Cálculo da soma dos quadrados dos resíduos (SSR), do coeficiente de determinação R^2 e da variância residual.
– Ajuste de regressão polinomial de grau 2 e mesmas quantidades (SSR, R^2, variância residual).
– Cálculo de AIC para os dois modelos e escolha do melhor.
– Previsões em x=40 e x=50 com o modelo final e justificativa de extrapolação.
– Justificativa de por que usar regressão linear em vez de interpolação polinomial.

Passo 2

Para o modelo linear y=b_0+b_1x calculamos
\sum x_i =195,\quad \sum y_i =172,\quad \sum x_i^2 =6567,\quad \sum x_i y_i =5517,
daí
S_{xx}=\sum x_i^2-\frac{(\sum x_i)^2}{n}=6567-\frac{195^2}{6}=229{,}5,
S_{xy}=\sum x_i y_i-\frac{\sum x_i\,\sum y_i}{n}=5517-\frac{195\cdot172}{6}=-73.

Passo 3

As estimativas dos coeficientes são
\hat b_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \approx \frac{-73}{229{,}5}\approx -0,318,
\hat b_0 = \bar y - \hat b_1\,\bar x =28{,}6667 -(-0,318)\cdot32{,}5\approx39{,}02.

Passo 4

Os resíduos estimados são e_i=y_i-(\hat b_0+\hat b_1x_i). Calculando \sum e_i^2 obtemos
\mathrm{SSR}=\sum_{i=1}^6 e_i^2\approx4{,}12.
Pelo teorema dos mínimos quadrados, não existe outro par (b_0,b_1) que produza soma de quadrados menor.

Passo 5

O coeficiente de determinação é
R^2 = 1 - \frac{\mathrm{SSR}}{S_{yy}} \quad\text{com}\quad S_{yy}=\sum y_i^2-\frac{(\sum y_i)^2}{n}\approx27{,}33,
logo R^2\approx1-4{,}12/27{,}33\approx0{,}85.
A estimativa da variância residual é
\hat\sigma^2 = \frac{\mathrm{SSR}}{n-2}=\frac{4{,}12}{6-2}\approx1{,}03.

Passo 6

Para o polinômio de grau 2 y=a_0+a_1x+a_2x^2 montamos as normais
\begin{cases} 6a_0+195a_1+6567a_2=172,\\\\ 195a_0+6567a_1+229329a_2=5517,\\\\ 6567a_0+229329a_1+8297619a_2=183181, \end{cases}
cuja solução numérica é aproximadamente
\hat a_0\approx33{,}70,\quad \hat a_1\approx-0{,}00188,\quad \hat a_2\approx-0{,}00454.

Passo 7

Usando esse modelo calcula-se \mathrm{SSR}_{\rm quad}\approx4{,}14, de modo que
R^2_{\rm quad}=1-\frac{\mathrm{SSR}_{\rm quad}}{S_{yy}}\approx1-\frac{4{,}14}{27{,}33}\approx0{,}85,
e a variância residual estimada é
\hat\sigma^2_{\rm quad}=\frac{\mathrm{SSR}_{\rm quad}}{n-3}=\frac{4{,}14}{6-3}\approx1{,}38.

Passo 8

Para comparar os modelos usamos AIC (criterium simplificado)
\mathrm{AIC}=n\ln\Bigl(\frac{\mathrm{SSR}}{n}\Bigr)+2\,k,
onde k é o número de parâmetros. Assim:
– Modelo linear k=2:
\mathrm{AIC}_{\rm lin}\approx6\ln(4{,}12/6)+2\cdot2\approx1{,}74.
– Modelo quadrático k=3:
\mathrm{AIC}_{\rm quad}\approx6\ln(4{,}14/6)+2\cdot3\approx3{,}77.
O modelo linear é o mais adequado (menor AIC).

Passo 9

Com o modelo linear \hat y=39{,}02-0{,}318\,x:
– Para x=40: \hat y\approx39{,}02-0{,}318\cdot40\approx26{,}29. É confiável pois 40 está dentro da faixa [25,44].
– Para x=50: \hat y\approx39{,}02-0{,}318\cdot50\approx23{,}10. Não é confiável, pois 50 fica fora da faixa (extrapolação).

Passo 10

A regressão linear é preferível à interpolação polinomial porque buscamos um modelo que capture a tendência geral e seja estável em extrapolações. Interpolação polinomial de alto grau tende a oscilar muito entre os pontos e produz resultados instáveis fora da amostra.

Resposta

a) \hat b_0\approx39{,}02,\;\hat b_1\approx-0{,}318.
b) \mathrm{S}(\hat b_0,\hat b_1)\approx4{,}12.
c) Não, o ajuste de mínimos quadrados já minimiza essa soma.
d) R^2\approx0{,}85, isto é, 85% da variação de y é explicada pelo peso.
e) \hat\sigma^2=\frac{4{,}12}{6-2}\approx1{,}03.
f) \hat y=33{,}70 -0{,}00188\,x -0{,}00454\,x^2.
g) R^2_{\rm quad}\approx0{,}85.
h) \hat\sigma^2_{\rm quad}=\frac{4{,}14}{6-3}\approx1{,}38.
i) \mathrm{AIC}_{\rm lin}\approx1{,}74<\mathrm{AIC}_{\rm quad}\approx3{,}77, logo o modelo linear é o mais adequado.
j) Para x=40, \hat y\approx26{,}29; adequado porque é interpolação.
k) Para x=50, \hat y\approx23{,}10; não é adequado pois é extrapolação.
1) Regressão linear foca na tendência global e oferece maior estabilidade do que interpolação polinomial de alto grau, que oscila e é instável fora dos pontos.

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