Aproxime a seguinte integral e calcule os erros de integração (ou cotas máximas)
\int_{1}^{4} \ln \left(x^{3}\right) d x
considerando:
Aplicação da regra do trapézio repetida com 6 segmentos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{1}^{4}\ln\bigl(x^{3}\bigr)\,dx
usando a regra do trapézio composta com 6 subintervalos. O conteúdo aqui é integração numérica e o que vamos precisar é:
1. calcular o passo h=(b-a)/n;
2. avaliar f(x)=\ln(x^{3}) em cada nó;
3. aplicar a fórmula composta do trapézio;
4. comparar com o valor exato e calcular o erro;
5. usar a segunda derivada para obter uma cota máxima do erro.

Passo 2

Calcular o passo e os nós. Aqui a=1, b=4, n=6, logo
h=\frac{4-1}{6}=\tfrac{1}{2}=0,5.
Os nós são
x_{i}=1+i\,h,\quad i=0,1,\dots,6,
isto é x_{0}=1, x_{1}=1,5, x_{2}=2, x_{3}=2,5, x_{4}=3, x_{5}=3,5, x_{6}=4.

Passo 3

Avaliar f(x)=\ln(x^{3})=3\ln(x) em cada nó:
\begin{aligned} f(x_{0})&=3\ln(1)=0,\\\ f(x_{1})&=3\ln(1,5)\approx1,216396,\\\ f(x_{2})&=3\ln(2)\approx2,079442,\\\ f(x_{3})&=3\ln(2,5)\approx2,748873,\\\ f(x_{4})&=3\ln(3)\approx3,295837,\\\ f(x_{5})&=3\ln(3,5)\approx3,758289,\\\ f(x_{6})&=3\ln(4)\approx4,158883. \end{aligned}
A fórmula composta do trapézio é
T_{6}=\frac{h}{2}\Bigl[f(x_{0})+2\sum_{i=1}^{5}f(x_{i})+f(x_{6})\Bigr].
Calculando a soma interna:
\sum_{i=1}^{5}f(x_{i})\approx1,216396+2,079442+2,748873+3,295837+3,758289=13,098837,
portanto
T_{6}=\frac{0,5}{2}\bigl[0+2\cdot13,098837+4,158883\bigr] =0,25\times30,356557\approx7,589139.

Passo 4

Calcular o valor exato. Como
\int\ln(x^{3})\,dx =3\int\ln(x)\,dx =3\bigl[x\ln(x)-x\bigr],
temos
\int_{1}^{4}\ln(x^{3})\,dx =3\bigl[(4\ln(4)-4)-(1\ln(1)-1)\bigr] =3\bigl(4\ln4-3\bigr) =12\ln4-9\approx7,635529.

Passo 5

Erro da aproximação:
E=T_{6}-\Bigl(\text{exato}\Bigr)\approx7,589139-7,635529=-0,046390,
ou seja \lvert E\rvert\approx0,046390.

Passo 6

Cota máxima do erro usando a segunda derivada. Temos
f''(x)=\frac{d^2}{dx^2}\bigl(3\ln x\bigr)=-\frac{3}{x^{2}},
logo \lvert f''(x)\rvert=3/x^{2} atinge o máximo em x=1, valendo 3. A cota para o erro do trapézio composto é
\lvert E\rvert\le\frac{b-a}{12}\,h^{2}\max_{[1,4]}\lvert f''(x)\rvert =\frac{4-1}{12}\,(0,5)^{2}\times3 =0,1875.

Resposta

T_{6}\approx7,589139, erro E\approx-0,046390 (|E| \approx 0,046390), cota máxima |E|\le0,1875.

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