Usado o método de Euler, encontrar soluções aproximadas para os seguintes problemas:
Sendo
y^{\prime}(x)=-x[y(x)]^{2}
operatorname{com} y(1)=2, encontrar aproximações para y(x) no Intervalo I=[1,2], usando h=0.1.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução da equação diferencial
y'(x) = -\,x\,[y(x)]^{2}
com condição inicial y(1)=2, no intervalo [1,2], usando o método de Euler explícito com passo h=0{,}1. O conteúdo envolvido é a aplicação de métodos numéricos para ODEs de primeira ordem.

Passo 2

No método de Euler explícito, dado y'(x)=f(x,y), aproximamos
y_{n+1} = y_{n} + h\,f(x_{n},y_{n}),
onde x_{n}=x_{0}+n\,h e y_{0}=y(x_{0}). Aqui temos
f(x,y) = -\,x\,y^{2}.

Passo 3

Substituindo f(x_{n},y_{n}) na fórmula de Euler, obtemos a iteração
y_{n+1} = y_{n} + h\bigl(-\,x_{n}\,y_{n}^{2}\bigr) = y_{n} \;-\; h\,x_{n}\,y_{n}^{2}.

Passo 4

Agora vamos calcular passo a passo com x_{0}=1, y_{0}=2 e h=0{,}1. Montando a tabela (x_{n},y_{n}):
\begin{array}{c|c} x_{n} & y_{n} \\\ \hline 1{,}0 & 2{,}0000\\\\ 1{,}1 & 1{,}6000\\\\ 1{,}2 & 1{,}3184\\\\ 1{,}3 & 1{,}1098\\\\ 1{,}4 & 0{,}9497\\\\ 1{,}5 & 0{,}8234\\\\ 1{,}6 & 0{,}7217\\\\ 1{,}7 & 0{,}6383\\\\ 1{,}8 & 0{,}5690\\\\ 1{,}9 & 0{,}5107\\\\ 2{,}0 & 0{,}4611 \end{array}
Cada valor foi obtido por
y_{n+1}=y_{n}-0{,}1\;x_{n}\,y_{n}^{2}.

Resposta

As aproximações de y(x) em [1,2] com passo h=0{,}1 são dadas pela tabela acima.

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