Considere a seguinte integral \int_{-2}^{5}\left(x^{5}+0,2 x\right) d x.
(a) Qual regra de Newton-Cotes é a melhor para obter uma aproximação dessa integral? Justifique.
(b) Qual quadratura de Gauss-Legendre é a melhor para obter uma aproximação dessa integral? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{-2}^{5}\bigl(x^{5}+0,2\,x\bigr)\,dx
usando duas famílias de regras: Newton–Cotes fechadas e quadraturas de Gauss–Legendre. Como o integrando é um polinômio de grau 5, vamos escolher, em cada caso, a fórmula cujo grau de exatidão seja pelo menos 5, garantindo assim resultado exato sem erro de truncamento.

Passo 2

Regra de Newton–Cotes fechada com n subintervalos (ou seja, n+1 pontos) tem grau de exatidão igual a
  • n+1 se n é par,
  • n se n é ímpar.
    Queremos grau de exatidão >=5.
    Para n=4 ( 5 pontos) temos n par, logo grau = n+1=5.
    Essa é a famosa regra de Boole.
    Como ela integra exatamente todos os polinômios de grau até 5, é a melhor Newton–Cotes para o nosso caso.

Passo 3

A quadratura de Gauss–Legendre com m pontos integra exatamente todos os polinômios de grau até 2m-1.
Queremos 2m-1 \ge 5 \implies m \ge 3.
O menor m que satisfaz isso é m=3.
Portanto, a quadratura de Gauss–Legendre de 3 pontos integra exatamente nosso polinômio de grau 5.

Resposta

(a) Regra de Newton–Cotes fechada com 5 pontos (Boole’s rule), pois tem grau de exatidão 5.
(b) Quadratura de Gauss–Legendre com 3 pontos, pois integra exatamente polinômios até grau 2\cdot 3 - 1 = 5.

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