Considere a seguinte integral
.
(a) Qual regra de Newton-Cotes é a melhor para obter uma aproximação dessa integral? Justifique.
(b) Qual quadratura de Gauss-Legendre é a melhor para obter uma aproximação dessa integral? Justifique.
(a) Qual regra de Newton-Cotes é a melhor para obter uma aproximação dessa integral? Justifique.
(b) Qual quadratura de Gauss-Legendre é a melhor para obter uma aproximação dessa integral? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
usando duas famílias de regras: Newton–Cotes fechadas e quadraturas de Gauss–Legendre. Como o integrando é um polinômio de grau
, vamos escolher, em cada caso, a fórmula cujo grau de exatidão seja pelo menos
, garantindo assim resultado exato sem erro de truncamento.
Passo 2
Regra de Newton–Cotes fechada com
subintervalos (ou seja,
pontos) tem grau de exatidão igual a
-
se é par, -
se é ímpar.
Queremos grau de exatidão.
Para( pontos) temos par, logo grau .
Essa é a famosa regra de Boole.
Como ela integra exatamente todos os polinômios de grau até, é a melhor Newton–Cotes para o nosso caso.
Passo 3
A quadratura de Gauss–Legendre com
pontos integra exatamente todos os polinômios de grau até
.
Queremos
.
O menor que satisfaz isso é
.
Portanto, a quadratura de Gauss–Legendre de pontos integra exatamente nosso polinômio de grau
.
Queremos
O menor
Portanto, a quadratura de Gauss–Legendre de
Resposta
(a) Regra de Newton–Cotes fechada com
pontos (Boole’s rule), pois tem grau de exatidão
.
(b) Quadratura de Gauss–Legendre com pontos, pois integra exatamente polinômios até grau
.
(b) Quadratura de Gauss–Legendre com