Considere os seguintes pontos de uma função
desconhecida,
1
3
5
7
9
11
13
1
0,577
0,447
0,378
0,333
0,302
0,277
(a) Quais as fórmulas de Newton-Cotes (simples e compostas) que permitem aproximar
?
(b) É possível utilizar quadratura de Gauss Legendre com dois ou três pontos para aproximar
(c) Encontre uma aproximação para
pela regra
de Simpson composta. É possível encontrar o erro de integração?
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1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
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1 | 0,577 | 0,447 | 0,378 | 0,333 | 0,302 | 0,277 |
(b) É possível utilizar quadratura de Gauss Legendre com dois ou três pontos para aproximar
(c) Encontre uma aproximação para
Passo 1
O enunciado nos dá valores de uma função
em
e pede:
(a) quais as fórmulas de Newton–Cotes simples e compostas para aproximar ;
(b) se podemos usar quadratura de Gauss–Legendre com 2 ou 3 pontos para essa integral;
(c) aproximar pela regra composta de Simpson
e comentar o erro.
O conteúdo é métodos de integração numérica (Newton–Cotes e quadratura de Gauss) e aplicação da regra composta de Simpson.
(a) quais as fórmulas de Newton–Cotes simples e compostas para aproximar
(b) se podemos usar quadratura de Gauss–Legendre com 2 ou 3 pontos para essa integral;
(c) aproximar
O conteúdo é métodos de integração numérica (Newton–Cotes e quadratura de Gauss) e aplicação da regra composta de Simpson.
Passo 2
As fórmulas de Newton–Cotes fechadas simples são:
com
.
As versões compostas estendem isso a subintervalos de tamanho
:
As versões compostas estendem isso a
válido para
par.
Passo 3
A quadratura de Gauss–Legendre com 2 ou 3 pontos em
existe em tese: faz-se a mudança de variável
e aplica-se a regra de Gauss de grau 2 ou 3 em
.
Na prática, para os nós ficam em
ou em
mapeados, e não dispomos de
nesses pontos.
Logo, embora a fórmula exista, não podemos usá-la pois não conhecemos nos nós de Gauss.
Na prática, para
Logo, embora a fórmula exista, não podemos usá-la pois não conhecemos
Passo 4
Para Simpson composta em
tomamos
subintervalos de passo
Aplique-se
Substituindo os valores dados:
temos soma interna
Multiplicando por
:
Passo 5
O erro da regra composta de Simpson
é dado por
para algum
. Como
é desconhecido, não podemos estimar numericamente este erro.
Resposta
(a) Newton–Cotes simples: trapézio, Simpson
, Simpson
; compostas: trapézio composto e Simpson
composto conforme as fórmulas acima.
(b) Em teoria sim (mapeando para ), mas em prática não porque
não é conhecido nos nós de Gauss.
(c) Pela regra composta de Simpson obtemos
. O erro envolve
, desconhecido, logo não pode ser calculado numericamente.
(b) Em teoria sim (mapeando para
(c) Pela regra composta de Simpson