Considere os seguintes pontos de uma função f(x) desconhecida,
x 1 3 5 7 9 11 13
f(x) 1 0,577 0,447 0,378 0,333 0,302 0,277
(a) Quais as fórmulas de Newton-Cotes (simples e compostas) que permitem aproximar \int_{1}^{13} f(x) d x ?
(b) É possível utilizar quadratura de Gauss Legendre com dois ou três pontos para aproximar \int_{1}^{13} f(x) d x ?
(c) Encontre uma aproximação para \int_{1}^{13} f(x) d x pela regra 1 / 3 de Simpson composta. É possível encontrar o erro de integração?

Passo 1

O enunciado nos dá valores de uma função f(x) em x=1,3,5,7,9,11,13 e pede:
(a) quais as fórmulas de Newton–Cotes simples e compostas para aproximar \int_{1}^{13}f(x)\,dx;
(b) se podemos usar quadratura de Gauss–Legendre com 2 ou 3 pontos para essa integral;
(c) aproximar \int_{1}^{13}f(x)\,dx pela regra composta de Simpson 1/3 e comentar o erro.
O conteúdo é métodos de integração numérica (Newton–Cotes e quadratura de Gauss) e aplicação da regra composta de Simpson.

Passo 2

As fórmulas de Newton–Cotes fechadas simples são:
\int_{x_0}^{x_1} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{h}{2}\bigl[f(x_0)+f(x_1)\bigr],
\int_{x_0}^{x_2} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{h}{3}\bigl[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr],
\int_{x_0}^{x_3} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{3h}{8}\bigl[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr],
com h=x_{i+1}-x_i.
As versões compostas estendem isso a n subintervalos de tamanho h=(b-a)/n:
\int_{x_0}^{x_n} f(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=0}^{n-1}\frac{h}{2}\bigl[f(x_i)+f(x_{i+1})\bigr] \quad\text{(trapézio composto)},é
\int_{x_0}^{x_n} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+4\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{n-1}f(x_i) +2\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{n-2}f(x_i)+f(x_n)\Bigr] \quad\text{(Simpson \(1/3\) composto)},
válido para n par.

Passo 3

A quadratura de Gauss–Legendre com 2 ou 3 pontos em [a,b] existe em tese: faz-se a mudança de variável
x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\,t, \quad \int_a^b f(x)\,dx=\frac{b-a}{2}\int_{-1}^1 f\!\Bigl(\tfrac{a+b}{2}+\tfrac{b-a}{2}t\Bigr)\,dt
e aplica-se a regra de Gauss de grau 2 ou 3 em [-1,1].
Na prática, para [1,13] os nós ficam em
\,x_{1,2}=7\pm\frac{6}{\sqrt3} ou em
x=-\sqrt{\tfrac{3}{5}},0,\sqrt{\tfrac{3}{5}} mapeados, e não dispomos de f(x) nesses pontos.
Logo, embora a fórmula exista, não podemos usá-la pois não conhecemos f nos nós de Gauss.

Passo 4

Para Simpson composta em [1,13] tomamos n=6 subintervalos de passo
h=\frac{13-1}{6}=2.
Aplique-se
\int_{1}^{13}f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(1) +4\bigl(f(3)+f(7)+f(11)\bigr) +2\bigl(f(5)+f(9)\bigr) +f(13)\Bigr].
Substituindo os valores dados:
f(1)=1,\, f(3)=0,577,\, f(5)=0,447,\, f(7)=0,378,\, f(9)=0,333,\, f(11)=0,302,\, f(13)=0,277,
temos soma interna
1 + 4(0,577+0,378+0,302) + 2(0,447+0,333) + 0,277 = 7,865.
Multiplicando por h/3=2/3:
\int_{1}^{13}f(x)\,dx \approx \frac{2}{3}\times 7,865 = 5,243.

Passo 5

O erro da regra composta de Simpson 1/3 é dado por
E=-\frac{(b-a)}{180}\,h^4\,f^{(4)}(\xi),
para algum \xi\in(1,13). Como f^{(4)}(\xi) é desconhecido, não podemos estimar numericamente este erro.

Resposta

(a) Newton–Cotes simples: trapézio, Simpson 1/3, Simpson 3/8; compostas: trapézio composto e Simpson 1/3 composto conforme as fórmulas acima.
(b) Em teoria sim (mapeando para [-1,1]), mas em prática não porque f não é conhecido nos nós de Gauss.
(c) Pela regra composta de Simpson 1/3 obtemos \displaystyle\int_{1}^{13}f(x)\,dx\approx5,243. O erro envolve f^{(4)}(\xi), desconhecido, logo não pode ser calculado numericamente.

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