Assinale verdadeiro ou falso para as afirmações a seguir.
a) Uma decomposição \boldsymbol{L} \boldsymbol{U}, ou uma fatoração \boldsymbol{L} \boldsymbol{U}, de uma matriz quadrada A é uma fatoração A=L U em que L é uma matriz triangular superior e U é triangular inferior.
b) Toda matriz quadrada possui pelo menos uma decomposição L U (sem pivotação).
c) Se uma matriz quadrada A pode ser reduzida à forma escalonada por linhas U com eliminação de Gauss sem permuta de linhas, então A pode ser fatorada como A=L U, em que L é uma matriz triangular inferior.
d) Na ausência de restrições, as decomposições L U não são únicas.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiro ou falso quatro afirmações sobre a fatoração de uma matriz quadrada A em A=LU. O conteúdo envolve definição de matrizes triangulares, condições de existências de LU sem pivotação e questão de unicidade dessa decomposição.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “ L é triangular superior e U é triangular inferior”. Na verdade, por definição de fatoração LU, L é triangular inferior e U é triangular superior. Logo, a afirmação está invertida e é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “Toda matriz quadrada possui pelo menos uma decomposição LU (sem pivotação)”. Isso não vale para matrizes que requerem permutas de linha (por exemplo, quando algum pivô é zero). Sem pivotação, precisamos de todos os pivôs principais não nulos, o que nem sempre ocorre. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação (c): “Se A pode ser reduzida à forma escalonada por eliminação de Gauss sem permuta de linhas, então existe A=LU com L triangular inferior.” Nesse caso, armazenamos em L os multiplicadores usados na eliminação e obtemos U escalonada. Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmação (d): “Na ausência de restrições, as decomposições LU não são únicas.” De fato, podemos inserir uma matriz diagonal invertível D e escrever
A = (L D)\,(D^{-1}U)
obtendo outra fatoração, sem violar o produto. Portanto, sem impor condição extra (ex.: diagonal de L igual a 1), a decomposição não é única. A afirmação é verdadeira.

Resposta

a) F
b) F
c) V
d) V

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