Assinale verdadeiro ou falso para as afirmações a seguir.
a) Uma decomposição
, ou uma fatoração
, de uma matriz quadrada A é uma fatoração
em que
é uma matriz triangular superior e
é triangular inferior.
b) Toda matriz quadrada possui pelo menos uma decomposição
(sem pivotação).
c) Se uma matriz quadrada
pode ser reduzida à forma escalonada por linhas
com eliminação de Gauss sem permuta de linhas, então
pode ser fatorada como
, em que
é uma matriz triangular inferior.
d) Na ausência de restrições, as decomposições
não são únicas.
a) Uma decomposição
b) Toda matriz quadrada possui pelo menos uma decomposição
c) Se uma matriz quadrada
d) Na ausência de restrições, as decomposições
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeiro ou falso quatro afirmações sobre a fatoração de uma matriz quadrada
em
. O conteúdo envolve definição de matrizes triangulares, condições de existências de LU sem pivotação e questão de unicidade dessa decomposição.
Passo 2
Analisando a afirmação (a): “
é triangular superior e
é triangular inferior”. Na verdade, por definição de fatoração LU,
é triangular inferior e
é triangular superior. Logo, a afirmação está invertida e é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação (b): “Toda matriz quadrada possui pelo menos uma decomposição LU (sem pivotação)”. Isso não vale para matrizes que requerem permutas de linha (por exemplo, quando algum pivô é zero). Sem pivotação, precisamos de todos os pivôs principais não nulos, o que nem sempre ocorre. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação (c): “Se
pode ser reduzida à forma escalonada por eliminação de Gauss sem permuta de linhas, então existe
com
triangular inferior.” Nesse caso, armazenamos em
os multiplicadores usados na eliminação e obtemos
escalonada. Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmação (d): “Na ausência de restrições, as decomposições LU não são únicas.” De fato, podemos inserir uma matriz diagonal invertível
e escrever
obtendo outra fatoração, sem violar o produto. Portanto, sem impor condição extra (ex.: diagonal de
igual a 1), a decomposição não é única. A afirmação é verdadeira.
Resposta
a) F
b) F
c) V
d) V
b) F
c) V
d) V