Considere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 & \text { se } & x<0 \\\ x & \text { se } & 0<x<1 \\\\ 0 & \text { se } & x>1\end{array}\right., encontre \hat{f}(w). Passo 1O enunciado define f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ x, & 0<x<1,\\\\ 0, & x>1, \end{cases} e pede a transformada de Fourier \hat f(w)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iwx}dx. Como f(x) é zero fora de (0,1), basta integrar essa expressão em [0,1]. Passo 2Reduzimos \hat f(w) =\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iwx}dx =\int_{0}^{1}x\,e^{-iwx}dx. Agora aplicamos integração por partes em \displaystyle\int_{0}^{1}x\,e^{-iwx}dx. Passo 3Escolhemos u = x,\quad dv = e^{-iwx}dx \quad\Longrightarrow\quad du = dx,\quad v = -\frac{1}{iw}e^{-iwx}. Logo \int_{0}^{1}x\,e^{-iwx}dx =\Bigl.-\frac{x}{iw}e^{-iwx}\Bigr|_{0}^{1} +\int_{0}^{1}\frac{1}{iw}e^{-iwx}dx. Passo 4Continuando o cálculo, \Bigl.-\frac{x}{iw}e^{-iwx}\Bigr|_{0}^{1} =-\frac{1}{iw}e^{-iw}, e \int_{0}^{1}\frac{1}{iw}e^{-iwx}dx =\frac{1}{iw}\,\Bigl.-\frac{1}{iw}e^{-iwx}\Bigr|_{0}^{1} =-\frac{1}{(iw)^2}\bigl(e^{-iw}-1\bigr). Como (iw)^2=-w^2, temos -\frac{1}{(iw)^2}=-\frac{1}{-w^2}=\frac{1}{w^2}, portanto \int_{0}^{1}x\,e^{-iwx}dx =-\frac{1}{iw}e^{-iw}+\frac{1}{w^2}\bigl(e^{-iw}-1\bigr) =\frac{1-(1+iw)e^{-iw}}{w^2}. Resposta \hat f(w) =\frac{1-(1+iw)e^{-iw}}{w^2}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosConsidere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 & \text { se } & x<0 \\\ x & \text { se } & 0<x<1 \\\\ 0 & \text { se } & x>1\end{array}\right., encontre \hat{f}(w). Considere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}-1 & \text { se } & -1<x<0 \\\\ 1 & \text { se } & 0<x<1 \\\\ 0 & \text { se } & |x|>1\end{array}\right., encontre \hat{f}(w). Assinale verdadeiro ou falso para as afirmações a seguir. a) Uma decomposição \boldsymbol{L} \boldsymbol{U}, ou uma fatoração \boldsymbol{L} \boldsymbol{U}, de uma matriz quadrada A é uma fatoração A=L U em que L é uma matriz triangular superior e U é triangular inferior. b) Toda matriz quadrada possui pelo menos uma decomposição L U (sem pivotação). c) Se uma matriz quadrada A pode ser reduzida à forma escalonada por linhas U com eliminação de Gauss sem permuta de linhas, então A pode ser fatorada como A=L U, em que L é uma matriz triangular inferior. d) Na ausência de restrições, as decomposições L U não são únicas. Seja A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 3\end{array}\right] e A_{k} uma matriz constituída das k primeiras linhas e k primeiras colunas de A. Marque verdadeiro ou falso para as afirmações a seguir. a) A satisfaz às condições da decomposição L U, pois \operatorname{det}\left(A_{1}\right)=2 e \operatorname{det}\left(A_{2}\right)=-1. \square b) Decompondo A em \mathrm{LU}, \mathrm{L}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0.5 & 0.5 & 1\end{array}\right] e \mathrm{U}=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]. \square c) \operatorname{det}(A)=-2 \square d) A solução do sistema A x=b e L y=b, onde b=\left[\begin{array}{l}9 \\\\ 1 \\\\ 7\end{array}\right] é x=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right] e y=\left[\begin{array}{l}9 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right] \square