Considere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 & \text { se } & x<0 \\\ x & \text { se } & 0<x<1 \\\\ 0 & \text { se } & x>1\end{array}\right., encontre \hat{f}(w).

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ x, & 0<x<1,\\\\ 0, & x>1, \end{cases}
e pede a transformada de Fourier \hat f(w)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iwx}dx.
Como f(x) é zero fora de (0,1), basta integrar essa expressão em [0,1].

Passo 2

Reduzimos
\hat f(w) =\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iwx}dx =\int_{0}^{1}x\,e^{-iwx}dx.
Agora aplicamos integração por partes em \displaystyle\int_{0}^{1}x\,e^{-iwx}dx.

Passo 3

Escolhemos
u = x,\quad dv = e^{-iwx}dx \quad\Longrightarrow\quad du = dx,\quad v = -\frac{1}{iw}e^{-iwx}.
Logo
\int_{0}^{1}x\,e^{-iwx}dx =\Bigl.-\frac{x}{iw}e^{-iwx}\Bigr|_{0}^{1} +\int_{0}^{1}\frac{1}{iw}e^{-iwx}dx.

Passo 4

Continuando o cálculo,
\Bigl.-\frac{x}{iw}e^{-iwx}\Bigr|_{0}^{1} =-\frac{1}{iw}e^{-iw},
e
\int_{0}^{1}\frac{1}{iw}e^{-iwx}dx =\frac{1}{iw}\,\Bigl.-\frac{1}{iw}e^{-iwx}\Bigr|_{0}^{1} =-\frac{1}{(iw)^2}\bigl(e^{-iw}-1\bigr).
Como (iw)^2=-w^2, temos
-\frac{1}{(iw)^2}=-\frac{1}{-w^2}=\frac{1}{w^2},
portanto
\int_{0}^{1}x\,e^{-iwx}dx =-\frac{1}{iw}e^{-iw}+\frac{1}{w^2}\bigl(e^{-iw}-1\bigr) =\frac{1-(1+iw)e^{-iw}}{w^2}.

Resposta

\hat f(w) =\frac{1-(1+iw)e^{-iw}}{w^2}.

Exercícios relacionados