Seja A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 3\end{array}\right] e A_{k} uma matriz constituída das k primeiras linhas e k primeiras colunas de A.
Marque verdadeiro ou falso para as afirmações a seguir.
a) A satisfaz às condições da decomposição L U, pois \operatorname{det}\left(A_{1}\right)=2 e \operatorname{det}\left(A_{2}\right)=-1. \square
b) Decompondo A em \mathrm{LU}, \mathrm{L}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0.5 & 0.5 & 1\end{array}\right] e \mathrm{U}=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]. \square
c) \operatorname{det}(A)=-2 \square
d) A solução do sistema A x=b e L y=b, onde b=\left[\begin{array}{l}9 \\\\ 1 \\\\ 7\end{array}\right] é x=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right] e y=\left[\begin{array}{l}9 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right] \square

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3 \\[6pt] 0 & -1 & 1 \\[6pt] 1 & 0 & 3\end{pmatrix}
e os menores principais \,A_k. Pede-se avaliar se (a)–(d) são verdadeiras ou falsas, envolvendo decomposição \mathrm{LU}, determinantes e solução de sistemas usando essa decomposição.]

Passo 2

Calculemos os dois primeiros menores principais:
A_1 = \begin{pmatrix}2\end{pmatrix},\quad \det(A_1)=2,
A_2 = \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix},\quad \det(A_2)=2\cdot(-1)-0\cdot1=-2.
A afirmação (a) era que \det(A_2)=-1. Como na verdade \det(A_2)=-2, a afirmação (a) é Falsa.]

Passo 3

Verifiquemos a decomposição dada em (b):
L=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0.5&0.5&1\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}2&1&3\\[4pt]0&-1&1\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}.
Multiplicando L\,U obtemos exatamente \begin{pmatrix}2&1&3\\\ 0&-1&1\\\ 1&0&3\end{pmatrix},
que coincide com A. Logo (b) é Verdadeira.]

Passo 4

Como \det(A)=\det(L)\det(U) e \det(L)=1,
\det(A)=1\cdot\bigl(2\cdot(-1)\cdot1\bigr)=-2.
Portanto a afirmação (c) “ \det(A)=-2” é Verdadeira.

Passo 5

Para (d), seja b=(9,1,7)^T. Primeiro resolvemos \,L\,y=b:
y_1=9,\quad y_2=1,\quad 0.5\,y_1+0.5\,y_2+y_3=7\implies y_3=2,
logo y=(9,1,2)^T. Depois resolvemos \,U\,x=y:
x_3=2,\quad -x_2+1\cdot x_3=1\implies x_2=1,\quad 2x_1+1\cdot x_2+3x_3=9\implies x_1=1,
logo x=(1,1,2)^T. A afirmação (d) é Verdadeira.

Resposta

a) Falso
b) Verdadeiro
c) Verdadeiro
d) Verdadeiro

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