2- Considere a função f(x)=e^{x / 3} e os valores de x :
x_{1}=1 ; \quad x_{2}=2 ; \quad x_{3}=3 ; \quad x_{4}=4
a) Obtenha um polinômio interpolador, p(x), de grau 3 , para f(x) e 1 \leq x \leq 4.
b) Calcule o erro E(x)=f(x)-p(x) para x=1,5 ; x=1,75 ; x=2,5 ; x=3,5 e x=3,75.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a função
f(x)=e^{x/3}
nos nós x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=3, x_{4}=4 por um polinômio p(x) de grau 3.
O método que vamos usar é o de Newton com diferenças divididas. Depois, calculamos o erro
E(x)=f(x)-p(x)
nos pontos x=1{,}5, 1{,}75, 2{,}5, 3{,}5 e 3{,}75.

Passo 2

Primeiro, montamos a tabela de diferenças divididas. Chamando f_i=f(x_i), temos:
\begin{aligned} f_{1}&=e^{1/3}\approx1{,}3956,\\\ f_{2}&=e^{2/3}\approx1{,}9477,\\\ f_{3}&=e^{1}\approx2{,}7183,\\\ f_{4}&=e^{4/3}\approx3{,}7937. \end{aligned}
As primeiras diferenças divididas são
\begin{aligned} f[x_{1},x_{2}]&=\frac{f_{2}-f_{1}}{2-1}\approx0{,}5521,\\\ f[x_{2},x_{3}]&=\frac{f_{3}-f_{2}}{3-2}\approx0{,}7706,\\\ f[x_{3},x_{4}]&=\frac{f_{4}-f_{3}}{4-3}\approx1{,}0754. \end{aligned}
As segundas diferenças:
\begin{aligned} f[x_{1},x_{2},x_{3}] &=\frac{0{,}7706-0{,}5521}}{3-1}\approx0{,}10925,\\\ f[x_{2},x_{3},x_{4}] &=\frac{1{,}0754-0{,}7706}}{4-2}\approx0{,}15240. \end{aligned}
E a terceira diferença:
f[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}] =\frac{0{,}15240-0{,}10925}}{4-1}\approx0{,}014383.

Passo 3

O polinômio de Newton fica
\begin{aligned} p(x)&=f_{1} +f[x_{1},x_{2}]\,(x-1) +f[x_{1},x_{2},x_{3}]\,(x-1)(x-2)\\\ &\quad +f[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]\,(x-1)(x-2)(x-3)\\\ &\approx1{,}3956 +0{,}5521\,(x-1) +0{,}10925\,(x-1)(x-2)\\\ &\quad +0{,}014383\,(x-1)(x-2)(x-3). \end{aligned}

Passo 4

Agora avaliamos p(x) e calculamos o erro E(x)=e^{x/3}-p(x). Os resultados aproximados são:
\begin{aligned} x=1{,}50:\quad&p(1{,}5)\approx1{,}64973,\quad f(1{,}5)=e^{0{,}5}\approx1{,}64872, \quad E(1{,}5)\approx-0{,}00101,\\\ x=1{,}75:\quad&p(1{,}75)\approx1{,}79256,\quad f(1{,}75)=e^{0{,}5833}\approx1{,}79227, \quad E(1{,}75)\approx-0{,}00029,\\\ x=2{,}50:\quad&p(2{,}5)\approx2{,}30029,\quad f(2{,}5)=e^{0{,}8333}\approx2{,}30098, \quad E(2{,}5)\approx+0{,}00068,\\\ x=3{,}50:\quad&p(3{,}5)\approx3{,}21252,\quad f(3{,}5)=e^{1{,}1667}\approx3{,}21180, \quad E(3{,}5)\approx-0{,}00072,\\\ x=3{,}75:\quad&p(3{,}75)\approx3{,}49110,\quad f(3{,}75)=e^{1{,}25}\approx3{,}49034, \quad E(3{,}75)\approx-0{,}00076. \end{aligned}

Resposta

O polinômio interpolador de grau 3 em forma de Newton é
\boxed{ p(x) =1{,}3956 +0{,}5521\,(x-1) +0{,}10925\,(x-1)(x-2) +0{,}014383\,(x-1)(x-2)(x-3) }
e os erros aproximados são
\begin{aligned} E(1{,}5)&\approx-0{,}00101,\\\ E(1{,}75)&\approx-0{,}00029,\\\ E(2{,}5)&\approx+0{,}00068,\\\ E(3{,}5)&\approx-0{,}00072,\\\ E(3{,}75)&\approx-0{,}00076. \end{aligned}

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