A3 Avalie as expressões abaixo em um sistema de ponto flutuante com cinco dígitos significativos. Compute o erro relativo em cada operação executada e no resultado final. Identifique qual a operação contribuiu mais expressivamente para o erro final.
\quad \sum_{n=1}^{25000} 0.4+10000.

Passo 1

O enunciado pede para computar
S = \sum_{n=1}^{25000} \bigl(0{,}4 + 10000\bigr)
num sistema de ponto flutuante com cinco dígitos significativos, calculando o erro relativo em cada operação e no resultado final. Para isso precisamos:
  1. Representar 10000 e 0{,}4 no formato normalizado de cinco dígitos.
  2. Ver como ocorre o arredondamento em cada adição.
  3. Acumular 25000 vezes e comparar com o valor exato.

Passo 2

Normalizamos os operandos em notação científica de cinco dígitos:
10000 = 1{,}0000\times10^4, \quad 0{,}4 = 4{,}0000\times10^{-1}.
Para somar, alinhamos os expoentes:
4{,}0000\times10^{-1} = 0{,}0000\,4\times10^4 = 0{,}00004\times10^4.
Então
1{,}0000\times10^4 + 0{,}00004\times10^4 = (1{,}0000 + 0{,}00004)\times10^4 = 1{,}00004\times10^4.
Mas só há cinco dígitos disponíveis na mantissa, logo arredondamos para
1{,}0000\times10^4 = 10000.

Passo 3

Concluímos que cada operação
10000 + 0{,}4
produz exatamente 10000 no sistema flutuante de cinco dígitos, perdendo o incremento de 0{,}4. Assim, após cada soma iterada 25000 vezes, o acumulador permanece em 10000.

Passo 4

Erro na primeira adição: valor exato =10000{,}4, valor aproximado =10000, logo
\text{erro absoluto} = 0{,}4, \quad \text{erro relativo} = \frac{0{,}4}{10000{,}4}\approx4{,}0\times10^{-5}.
Erro no resultado final: valor exato de
S_{\text{exato}} = 25000\times(10000{,}4) = 25000\times0{,}4 + 25000\times10000 = 10000 + 250000000 = 250010000,
valor aproximado S_{\text{fl}}\approx25000\times10000 = 250000000.
Erro absoluto final =10000, erro relativo
\frac{10000}{250010000}\approx4{,}0\times10^{-5}.

Passo 5

A operação que mais contribui para o erro é a soma de um número grande 10000 com um número pequeno 0{,}4, pois o termo menor é descartado no arredondamento a cinco dígitos significativos.

Resposta

No sistema de cinco dígitos, cada 10000+0{,}4 10000, logo
S_{\text{fl}} = 25000 \times 10000 = 250000000.
Erro relativo por adição \approx4{,}0\times10^{-5}, erro relativo final também \approx4{,}0\times10^{-5}. A operação 10000+0{,}4 é a mais danosa.

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