Reorganize as expressões abaixo para amenizar possíveis erros de cálculo. Escolha valores para
que evidenciem os erros.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a expressão
e pede para reorganizá-la a fim de amenizar erros numéricos, além de escolher valores de
que mostrem esses erros. Para isso vamos usar identidades trigonométricas e a ideia de cancelamento de subtração de números muito próximos (que gera grande imprecisão).
Passo 2
Quando
é muito pequeno,
e
. Logo
mas no cálculo em ponto flutuante
e
são quase iguais, de modo que a subtração
pode perder todos os dígitos significativos, resultando em zero ou num valor muito impreciso.
Passo 3
Para evitar esse cancelamento podemos usar uma das duas reorganizações:
de onde
Ambas as fórmulas evitam a subtração de quantidades quase iguais.
Passo 4
Escolhendo
(radianos) em dupla precisão típica:
- Cálculo direto:
arrocha em
, de modo que
pode gerar zero numa máquina de 64 bits, e
- Fórmula estável:
ou ainda
Aqui não há cancelamento grave e obtém-se o valor correto.
Resposta
Reorganizações para evitar cancelamento:
Exemplo que evidencia o erro para
: o cálculo direto tende a zero, enquanto as fórmulas reorganizadas dão
.