Reorganize as expressões abaixo para amenizar possíveis erros de cálculo. Escolha valores para x que evidenciem os erros.
\quad \frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x}.

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
\frac{1 - \cos x}{\sin x}
e pede para reorganizá-la a fim de amenizar erros numéricos, além de escolher valores de x que mostrem esses erros. Para isso vamos usar identidades trigonométricas e a ideia de cancelamento de subtração de números muito próximos (que gera grande imprecisão).

Passo 2

Quando x é muito pequeno, \cos x\approx 1 - x^2/2 e \sin x\approx x. Logo
1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2},
mas no cálculo em ponto flutuante 1 e \cos x são quase iguais, de modo que a subtração 1 - \cos x pode perder todos os dígitos significativos, resultando em zero ou num valor muito impreciso.

Passo 3

Para evitar esse cancelamento podemos usar uma das duas reorganizações:
\text{(i)}\quad \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\sin x\,(1 + \cos x)} = \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x\,(1 + \cos x)} = \frac{\sin^2 x}{\sin x\,(1 + \cos x)} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}.
\text{(ii)}\quad 1 - \cos x = 2\sin^2\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr), \quad \sin x = 2\sin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr),
de onde
\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{2\sin^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)} = \tan\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr).
Ambas as fórmulas evitam a subtração de quantidades quase iguais.

Passo 4

Escolhendo x = 10^{-8} (radianos) em dupla precisão típica:
- Cálculo direto: \cos(10^{-8}) arrocha em 0{,}9999999999999999, de modo que
1 - \cos(10^{-8})
pode gerar zero numa máquina de 64 bits, e
\frac{1 - \cos(10^{-8})}{\sin(10^{-8})} \approx 0.
- Fórmula estável:
\tan\!\Bigl(\frac{10^{-8}}{2}\Bigr)\approx \frac{10^{-8}}{2}=5\times10^{-9},
ou ainda
\frac{\sin(10^{-8})}{1 + \cos(10^{-8})}\approx \frac{10^{-8}}{2}=5\times10^{-9}.
Aqui não há cancelamento grave e obtém-se o valor correto.

Resposta

Reorganizações para evitar cancelamento:
\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x} \quad\text{ou}\quad \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \tan\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr).
Exemplo que evidencia o erro para x=10^{-8}: o cálculo direto tende a zero, enquanto as fórmulas reorganizadas dão \approx5\times10^{-9}.

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