Usando o método de iteração linear encontrar a raiz positiva de f(x) \operatorname{com} \epsilon \leq 10^{-3}. f(x)=x^{3}-x-9 \operatorname{com} x_{0}=1.9 ;
Passo 1
O enunciado pede a raiz positiva de
f(x)=x^{3}-x-9
usando o método de iteração de ponto–fixo (iteração linear) até que a diferença entre iterações sucessivas seja no máximo \epsilon=10^{-3}, com palpite inicial x_{0}=1,9.
Passo 2
Precisamos escrever f(x)=0 como
x=\varphi(x)\,.
Uma forma conveniente é
\varphi(x)=\sqrt[3]{\,x+9\,}\,,
pois então resolver x^{3}-x-9=0 equivale a encontrar ponto–fixo de \varphi.
Passo 3
Para garantir convergência, checamos o módulo da derivada:
\varphi'(x)=\frac{1}{3}\,(x+9)^{-\tfrac{2}{3}}\,.
No intervalo em torno da raiz (por exemplo 1{,}9\le x\le2{,}5) temos