Usando o método de iteração linear encontrar a raiz positiva de f(x) \operatorname{com} \epsilon \leq 10^{-3}. f(x)=x^{3}-x-9 \operatorname{com} x_{0}=1.9 ;

Passo 1

O enunciado pede a raiz positiva de
f(x)=x^{3}-x-9
usando o método de iteração de ponto–fixo (iteração linear) até que a diferença entre iterações sucessivas seja no máximo \epsilon=10^{-3}, com palpite inicial x_{0}=1,9.

Passo 2

Precisamos escrever f(x)=0 como
x=\varphi(x)\,.
Uma forma conveniente é
\varphi(x)=\sqrt[3]{\,x+9\,}\,,
pois então resolver x^{3}-x-9=0 equivale a encontrar ponto–fixo de \varphi.

Passo 3

Para garantir convergência, checamos o módulo da derivada:
\varphi'(x)=\frac{1}{3}\,(x+9)^{-\tfrac{2}{3}}\,.
No intervalo em torno da raiz (por exemplo 1{,}9\le x\le2{,}5) temos
0<\varphi'(x)\le\frac{1}{3\,(10{,}9)^{2/3}}\approx0{,}07<1,
logo o método converge.

Passo 4

Aplicamos
x_{n+1}=\varphi(x_{n})=\sqrt[3]{\,x_{n}+9\,}
até \bigl|x_{n+1}-x_{n}\bigr|<10^{-3}. Calculamos:
\begin{aligned} x_{0}&=1,9,\\\ x_{1}&=\sqrt[3]{1,9+9}\approx2,217,\\\ x_{2}&=\sqrt[3]{2,217+9}\approx2,239,\\\ x_{3}&=\sqrt[3]{2,239+9}\approx2,2407,\\\ x_{4}&=\sqrt[3]{2,2407+9}\approx2,2408. \end{aligned}
As diferenças são
|x_{1}-x_{0}|\approx0,317,\quad |x_{2}-x_{1}|\approx0,022,\quad |x_{3}-x_{2}|\approx0,0017,\quad |x_{4}-x_{3}|\approx0,0001<10^{-3}.
Portanto a condição de parada ocorre em n=4.

Resposta

A raiz positiva aproximada é
x\approx2,2408\,.

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