Avalie a integral
integral0^0,8(0,2+25 x-200 x^2+675 x^3-900 x^4+400 x^5) d x
usando a quadratura de Gauss de terceira ordem (dois pontos).

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente aproximar a integral
integral0^0,8l(0,2 + 25x -200x^2 +675x^3 -900x^4 +400x^5r),dx
usando a quadratura de Gauss de dois pontos (que é exata até polinômios de grau 3, mas a gente vai usar mesmo assim pra aproximar esse de grau 5).
Conteúdo: Cálculo Numérico – Quadratura de Gauss.
O que a gente vai precisar:
  1. saber os nós e pesos para dois pontos em ;
  2. fazer a mudança de variável para transformar em ;
  3. avaliar o polinômio nesses pontos e montar a soma.

Passo 2

Quadratura de Gauss de 2 pontos em integral-1^1 f(t),dt approx sumi=1^2 wi,f(ti) :
nós ,
pesos
A fórmula geral é

Passo 3

Transformando x = a+b2 + b-a2,t, a=0,;b=0,8 em x = 0,4 + 0,4,t, dx = 0,4,dt :
x varia de 0 até 0,8. A mudança é
integral0^0,8 f(x),dx = integral-1^1 fl(0,4+0,4tr),(0,4),dt approx 0,4sumi=1^2 wi,fl(xir)
Então
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Passo 4

Calcular os pontos t1 = -1raiz3approx -0,57735, t2 = +0,57735 no intervalo original:
x1 = 0,4 + 0,4l(-0,57735r) approx 0,16906, x2 = 0,4 + 0,4l(+0,57735r) approx 0,63094
Então

Passo 5

Agora a gente avalia o polinômio
f(x) = 0,2 + 25x -200x^2 +675x^3 -900x^4 +400x^5
em f(x1)approx1,2942 e em f(x2)approx3,3155 .
– Em :
calcule cada termo (vou arredondar):
25·x₁≈4,2265; −200·x₁²≈−5,7148; +675·x₁³≈+3,2623;
−900·x₁⁴≈−0,7349; +400·x₁⁵≈+0,0552; +0,2 fica no começo.
Somando dá
– Em :
25·x₂≈15,7735; −200·x₂²≈−79,618; +675·x₂³≈+169,50;
−900·x₂⁴≈−142,50; +400·x₂⁵≈+39,96; +0,2.
Somando dá

Passo 6

Agora junta tudo na fórmula da quadratura:
integral0^0,8 f(x),dx approx 0,4l[f(x1)+f(x2)r] =0,4l(1,2942 + 3,3155r) =0,4cdot4,6097 approx1,8439

Resposta

Aproximação pelo método de Gauss-Legendre de 2 pontos:
boxed1,8439 (aprox)

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