Avalie a integral
usando a quadratura de Gauss de terceira ordem (dois pontos).
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente aproximar a integral
usando a quadratura de Gauss de dois pontos (que é exata até polinômios de grau 3, mas a gente vai usar mesmo assim pra aproximar esse de grau 5).
Conteúdo: Cálculo Numérico – Quadratura de Gauss.
O que a gente vai precisar:
Conteúdo: Cálculo Numérico – Quadratura de Gauss.
O que a gente vai precisar:
- saber os nós
e pesos para dois pontos em ; - fazer a mudança de variável para transformar
em ; - avaliar o polinômio nesses pontos e montar a soma.
Passo 2
Quadratura de Gauss de 2 pontos em
:
nós ,
pesos
A fórmula geral é
nós
pesos
A fórmula geral é
Passo 3
Transformando
em
:
x varia de 0 até 0,8. A mudança é
x varia de 0 até 0,8. A mudança é
Então
Logo
Passo 4
Calcular os pontos
no intervalo original:
Então
Passo 5
Agora a gente avalia o polinômio
em
e em
.
– Em :
calcule cada termo (vou arredondar):
25·x₁≈4,2265; −200·x₁²≈−5,7148; +675·x₁³≈+3,2623;
−900·x₁⁴≈−0,7349; +400·x₁⁵≈+0,0552; +0,2 fica no começo.
Somando dá
– Em
calcule cada termo (vou arredondar):
25·x₁≈4,2265; −200·x₁²≈−5,7148; +675·x₁³≈+3,2623;
−900·x₁⁴≈−0,7349; +400·x₁⁵≈+0,0552; +0,2 fica no começo.
Somando dá
– Em
:
25·x₂≈15,7735; −200·x₂²≈−79,618; +675·x₂³≈+169,50;
−900·x₂⁴≈−142,50; +400·x₂⁵≈+39,96; +0,2.
Somando dá
25·x₂≈15,7735; −200·x₂²≈−79,618; +675·x₂³≈+169,50;
−900·x₂⁴≈−142,50; +400·x₂⁵≈+39,96; +0,2.
Somando dá
Passo 6
Agora junta tudo na fórmula da quadratura:
Resposta
Aproximação pelo método de Gauss-Legendre de 2 pontos: