A partir dos dados a seguir,
x 0,398 0,399 0,400 0,401 0,402
f(x) 0,408591 0,409671 0,410752 0,411834 0,412915
determine a derivada primeira f^prime(x) no ponto x=0,399.
(A) Use a fórmula de diferença progressiva com três pontos.
(B) Use a fórmula de diferença central com dois pontos.

Passo 1

Beleza, então o exercício nos dá uma tabelinha de valores de e ao redor de . A ideia é usar fórmulas de derivada numérica (conteúdo de métodos numéricos) para estimar . Vamos precisar das fórmulas de diferença progressiva com três pontos e de diferença central com dois pontos, além de notar que o passo entre cada é .

Passo 2

Vamos aplicar a fórmula de diferença progressiva com três pontos, que para um ponto f'(x0)approx -3,f(x0) + 4,f(x0+h) - f(x0+2h)2h e passo &f(0,399)=0,409671, &f(0,400)=0,410752, &f(0,401)=0,411834 é:
-3cdot0,409671 + 4cdot0,410752 - 0,411834 = -1,229013 + 1,643008 - 0,411834 = 0,002161
Aqui f'(0,399)approx 0,0021610,002 = 1,0805 e . Substituindo:
Logo o numerador é
E como ,

Passo 3

Agora a fórmula de diferença central com dois pontos é
f'(x0)approx f(x0+h)-f(x0-h)2h
Para f(0,400)=0,410752, f(0,398)=0,408591, e f'(0,399)approx 0,410752 - 0,4085912cdot0,001 = 0,0021610,002 = 1,0805 :
então

Resposta

(A) Pela diferença progressiva com três pontos: .
(B) Pela diferença central com dois pontos: .

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