Avalie a integral
integral-2^4(1-x-4 x^3+2 x^5) d x
a) analiticamente;
b) aplicando a Regra do Trapézio a todo o intervalo;
c) aplicando a Regra do Trapézio Composta com 2 e 4 subintervalos;
d) aplicando a Regra 13 de Simpson a todo o intervalo e, a seguir, a Regra Composta com n=4 subintervalos;
e) aplicando a Regra 38 de Simpson a todo o intervalo e, a seguir, a Regra Composta com n=6 subintervalos;
Para cada estimativa, calcule o erro relativo tomando como referência o valor obtido no item (a).

Passo 1

O problema pede a avaliação da integral integral-2^4(1 - x - 4x^3 + 2x^5),dx de forma exata e por aproximações numéricas (Regra do Trapézio, Trapézio Composto, Simpson 1/3 e Simpson 3/8), além de calcular o erro relativo em cada caso, tomando como referência o valor exato.

Passo 2

Vamos achar a primitiva. Para f(x)=1 - x - 4x^3 + 2x^5 temos
F(x)=integral f(x),dx = x - x^22 - x^4 + x^63 + C

Passo 3

Avalia-se de -2 a 4:
F(4)=4 - 162 - 4^4 + 4^63 = -260 + 40963 = 33163,
F(-2)=-2 - 42 - 16 + 643 = -20 + 643 = 43

Passo 4

Portanto a integral exata é
I = F(4)-F(-2) = 33163-43 = 33123 = 1104

Passo 5

Regra do Trapézio (única) em [-2,4]:
h=6, T = h2[f(-2)+f(4)] = 3[-29 + 1789] = 5280

Passo 6

Erro relativo: |5280-1104|/1104approx3,7855,(378,6%)

Passo 7

Trapézio Composto com n=2:
h=3,;x=-2,1,4,;T2=h2[f(-2)+2f(1)+f(4)] = 1,5[ -29 + 2(-2) +1789 ] = 2634

Passo 8

Erro relativo: |2634-1104|/1104approx1,3859,(138,6%)

Passo 9

Trapézio Composto com n=4:
h=1,5,;x=-2,-0,5,1,2,5,4,
T4=h2l[f(-2)+2(f(-0,5)+f(1)+f(2,5))+f(4)r] = 1516,875

Passo 10

Erro relativo: |1516,875-1104|/1104approx0,3742,(37,42%)

Passo 11

Simpson 1/3 (única, n=2) em [-2,4]:
h=3,;x=-2,1,4,;S = h3l[f(-2)+4f(1)+f(4)r] = 1[ -29 + 4(-2) +1789 ] = 1752

Passo 12

Erro relativo: |1752-1104|/1104approx0,5869,(58,70%)

Passo 13

Simpson 1/3 Composto ( n=4):
h=1,5,;x=-2,-0,5,1,2,5,4,
S4=h3l[f(-2)+4f(-0,5)+2f(1)+4f(2,5)+f(4)r] = 1144,5

Passo 14

Erro relativo: |1144,5-1104|/1104approx0,0367,(3,67%)

Passo 15

Simpson 3/8 (única, n=3):
h=2,;x=-2,0,2,4,;S3/8=3h8[f(-2)+3f(0)+3f(2)+f(4)] = 0,75[ -29 +3(1)+3(31)+1789 ] = 1392

Passo 16

Erro relativo: |1392-1104|/1104approx0,2609,(26,09%)

Passo 17

Simpson 3/8 Composto ( n=6):
h=1,;x=-2,-1,0,1,2,3,4,
aplicando dois blocos de 3 subintervalos:
S3/8,6 = 3h8l[f(-2)+3f(-1)+3f(0)+f(1)r] + 3h8l[f(1)+3f(2)+3f(3)+f(4)r] = 1122

Passo 18

Erro relativo: |1122-1104|/1104approx0,0163,(1,63%)

Resposta

a) Exato = 1104
b) Trapézio única = 5280 (erro relativo ≈ 378,6%)
c) Trapézio composta n=2 = 2634 (erro relativo ≈ 138,6%)
Trapézio composta n=4 = 1516,875 (erro relativo ≈ 37,42%)
d) Simpson 1/3 única = 1752 (erro relativo ≈ 58,70%)
Simpson 1/3 composto n=4 = 1144,5 (erro relativo ≈ 3,67%)
e) Simpson 3/8 única = 1392 (erro relativo ≈ 26,09%)
Simpson 3/8 composto n=6 = 1122 (erro relativo ≈ 1,63%)

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