Avalie a integral
integral0^4(1-e^-2 x) d x
a) analiticamente;
b) aplicando a Regra do Trapézio a todo o intervalo;
c) aplicando a Regra do Trapézio Composta com 2 e 4 subintervalos;
d) aplicando a Regra 13 de Simpson a todo o intervalo e, a seguir, a Regra Composta com n=4 subintervalos;
e) aplicando a Regra 38 de Simpson a todo o intervalo;
Para cada estimativa, calcule o erro relativo tomando como referência o valor obtido no item (a).

Passo 1

O exercício pede avaliar a integral abaixo de forma analítica e também aproximá-la por métodos numéricos (Regra do Trapézio, Trapézio Composta, Regra 1/3 de Simpson e Regra 3/8 de Simpson), calculando em cada caso o erro relativo tomando como referência o valor analítico.

Passo 2

Para calcular a solução analítica, usamos as antiderivadas
integral 1,dx = x, integral e^-2x,dx = -tfrac12 e^-2x
Logo
integral0^4(1 - e^-2x),dx = l[x + tfrac12 e^-2xr]0^4 = l(4 + tfrac12 e^-8r) - l(0 + tfrac12 e^0r) = tfrac72 + tfrac12 e^-8 approx 3.5001677

Passo 3

Aplicando a Regra do Trapézio simples no intervalo inteiro [0,4]:
T = 4-02l(f(0)+f(4)r) = 2l(0 + (1-e^-8)r) = 2 - 2e^-8 approx 1.999329
Erro relativo: |1.999329 - 3.5001677|/3.5001677 approx 0.4288.

Passo 4

Para a Regra do Trapézio composta:
  • Com n=2 subintervalos ( h=2):
T2 = h2l(f(0) + 2f(2) + f(4)r) = 1l(0 + 2(1-e^-4) + (1-e^-8)r) approx 2.963033
Erro relativo: |2.963033 - 3.5001677|/3.5001677 approx 0.1535.
  • Com n=4 subintervalos ( h=1):
T4 = 12l(0 + 2(f(1)+f(2)+f(3)) + f(4)r) approx 3.343702
Erro relativo: |3.343702 - 3.5001677|/3.5001677 approx 0.04470.

Passo 5

Regra 1/3 de Simpson:
  • Simples ( n=2, h=2):
S = 4-06l(f(0) + 4f(2) + f(4)r) = 46l(0 + 4(1-e^-4) + (1-e^-8)r) approx 3.284267
Erro relativo: |3.284267 - 3.5001677|/3.5001677 approx 0.06169.
  • Composta ( n=4, h=1):
S4 = 13l(f(0) + 4(f(1)+f(3)) + 2f(2) + f(4)r) approx 3.470592
Erro relativo: |3.470592 - 3.5001677|/3.5001677 approx 0.00845.

Passo 6

Regra 3/8 de Simpson no intervalo inteiro ( n=3, h=4/3):
S3/8 = 3h8l(f(0) + 3f(4/3) + 3f(8/3) + f(4)r) = tfrac12l(0 + 3(1-e^-8/3) + 3(1-e^-16/3) + (1-e^-8)r) approx 3.388375
Erro relativo: |3.388375 - 3.5001677|/3.5001677 approx 0.03194.

Resposta

a) Valor exato: I = tfrac72 + tfrac12 e^-8 approx 3.5001677
b) Trapézio simples: T approx 1.999329, erro relativo approx 0.4288
c) Trapézio composta: T2 approx 2.963033, erro approx 0.1535; T4 approx 3.343702, erro approx 0.04470
d) Simpson 1/3: simples S approx 3.284267, erro approx 0.06169; composta S4 approx 3.470592, erro approx 0.00845
e) Simpson 3/8: S3/8 approx 3.388375, erro approx 0.03194

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