Avalie a integral dupla
a) analiticamente;
b) aplicando a Regra do Trapézio composta com
intervalos;
c) aplicando a Regra
de Simpson a todo(s) o(s) intervalo(s);
Para cada estimativa, calcule o erro relativo tomando como referência o valor obtido no item (a).
b) aplicando a Regra do Trapézio composta com
c) aplicando a Regra
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a integral dupla
analiticamente, depois aproximá-la por duas regras numéricas (Trapézio composto com
subintervalos em cada direção e Simpson
composto) e, em cada caso, calcular o erro relativo usando o valor analítico como referência.
Passo 2
Vamos ao cálculo analítico. Primeiro integramos em
:
Agora integramos em
:
Passo 3
Aplicamos a Regra do Trapézio composta em 2D com
. Temos
,
e os nós
,
. Calculamos
e usamos pesos produto
com
,
. A soma ponderada deu 8, então
O erro relativo é
Passo 4
Para Simpson
composto em 2D com os mesmos nós e
, usamos pesos produto de
em cada eixo. A soma ponderada valeu 24, e
O erro relativo é
Resposta
Analiticamente
. Pela Regra do Trapézio composta obtemos
(erro relativo 200%). Pela Regra de Simpson
composta obtemos
(erro relativo 0%).