Avalie a integral dupla
integral-1^1 integral0^2(x^2-2 y^2+x y^3) d x d y
a) analiticamente;
b) aplicando a Regra do Trapézio composta com n=2 intervalos;
c) aplicando a Regra 13 de Simpson a todo(s) o(s) intervalo(s);
Para cada estimativa, calcule o erro relativo tomando como referência o valor obtido no item (a).

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral dupla
I=integraly=-1^1integralx=0^2l(x^2-2y^2+xy^3r),dx,dy
analiticamente, depois aproximá-la por duas regras numéricas (Trapézio composto com n=2 subintervalos em cada direção e Simpson 1/3 composto) e, em cada caso, calcular o erro relativo usando o valor analítico como referência.

Passo 2

Vamos ao cálculo analítico. Primeiro integramos em x:
integral0^2l(x^2-2y^2+xy^3r),dx =integral0^2x^2dx-2y^2integral0^2dx+y^3integral0^2x,dx =l[tfracx^33r]0^2-2y^2l[ xr]0^2+y^3l[tfracx^22r]0^2 =83-4y^2+2y^3
Agora integramos em y:
I=integral-1^1l(83-4y^2+2y^3r)dy =83l[ yr]-1^1-4l[tfracy^33r]-1^1+2l[tfracy^44r]-1^1 =163-83+0=83

Passo 3

Aplicamos a Regra do Trapézio composta em 2D com nx=ny=2. Temos hx=1, hy=1 e os nós
xi=0,1,2, yj=-1,0,1. Calculamos fij=xi^2-2yj^2+xi yj^3 e usamos pesos produto wi^xcdot wj^y com w^x=(1,2,1), w^y=(1,2,1). A soma ponderada deu 8, então
Itrap=hxhysum wi^xwj^y fij=1times1times8=8
O erro relativo é
Etrap=|8-tfrac83|tfrac83=2(=200%)

Passo 4

Para Simpson 1/3 composto em 2D com os mesmos nós e hx=hy=1, usamos pesos produto de (1,4,1) em cada eixo. A soma ponderada valeu 24, e
IS=hxhy9sum wi^xwj^y fij=1times19times24=83
O erro relativo é
ES=|tfrac83-tfrac83|tfrac83=0

Resposta

Analiticamente I=8/3approx2,6667. Pela Regra do Trapézio composta obtemos 8 (erro relativo 200%). Pela Regra de Simpson 1/3 composta obtemos 8/3 (erro relativo 0%).

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