- A equação
tem 3 e 4 como raízes. Considere a função de iteração dada por
. Determine o intervalo
, onde para qualquer que seja
escolhido a sequência
converge para a raiz
. Mostre que a convergência é quadrática.
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar um intervalo aberto (a,b) tal que, para qualquer x₀ nesse intervalo, a iteração x_{n+1}=φ(x_n), com φ(x)=x²−6x+12, convirja para a raiz x=3 da equação original. Além disso, tem que mostrar que essa convergência é de ordem 2 (quadrática). Vamos usar noções de ponto fixo, relação de erro e invariância de intervalo.
Passo 2
Primeiro, notamos que x=3 é ponto fixo de φ, já que φ(3)=3²−6·3+12=9−18+12=3. Definimos o erro e_n=x_n−3. Substituindo na iteração:
φ(x_n)=x_{n+1} ⇒ x_{n+1}−3=(x_n−3)² ⇒
[e_{n+1}=e_n²]
Essa relação é crucial, pois mostra como o erro evolui de um passo para o outro.
Passo 3
Para garantir convergência para qualquer x₀ no intervalo, queremos |e₀|<1, ou seja, |x₀−3|<1. Isso define x₀∈(2,4). Além disso, devemos checar que φ mapeia (2,4) em si próprio. Escrevendo x=3+h, com |h|<1, temos φ(x)=3+h², que pertence a [3,4)⊂(2,4). Logo, a iteração nunca sai de (2,4). Assim, podemos tomar (a,b)=(2,4).
Passo 4
Como já vimos que e_{n+1}=e_n², basta notar que isso caracteriza convergência quadrática: pela definição de ordem p, se lim_{n→∞}|e_{n+1}|/|e_n|^p existe e é finito e não-nulo, então p é a ordem. Aqui
lim_{n→∞}\frac{|e_{n+1}|}{|e_n|2}=lim_{n→∞}\frac{|e_n|2}{|e_n|^2}=1
logo p=2. Isso prova que a convergência é quadrática.
Resposta
O intervalo de convergência é (2,4) e a ordem de convergência é 2 (quadrática).