A massa total de uma haste de densidade variável é dada por
onde
é a massa,
é a densidade,
, a área da seção transversal,
é a distância ao longo da haste e
seu comprimento total.
Para uma haste de comprimento
, os seguintes dados foram medidos:
0
4
6
8
12
16
20
4.00
3.95
3.89
3.80
3.60
3.41
3.30
100
103
106
110
120
133
150
Determine a massa da haste, em gramas, escolhendo, entre os métodos que você conhece, aquele que fornece o resultado mais preciso. Cuidado com as unidades!
Para uma haste de comprimento
|
0 | 4 | 6 | 8 | 12 | 16 | 20 |
|
4.00 | 3.95 | 3.89 | 3.80 | 3.60 | 3.41 | 3.30 |
|
100 | 103 | 106 | 110 | 120 | 133 | 150 |
Passo 1
O enunciado pede a massa de uma haste de comprimento
cuja densidade é variável segundo
e a área da seção transversal é
. A massa é dada por
Precisamos de um método numérico que use todos os pontos fornecidos (em
metros) e lide com espaçamentos irregulares. Vamos usar a regra trapezoidal composta para espaçamentos variáveis, pois ela aceita
diferente em cada subintervalo.
Passo 2
Para aplicar a regra trapezoidal temos que transformar tudo em unidades coerentes: como
está em
e
em
, o produto
tem unidades de
. Logo precisamos que
seja dado em centímetros. Convertendo
de metros para centímetros:
.
Montamos a tabela de em cm,
em
, e
em cm:
x (m) → x (cm): 0→0, 4→400, 6→600, 8→800, 12→1200, 16→1600, 20→2000;
(g/cm^3): 4.00, 3.95, 3.89, 3.80, 3.60, 3.41, 3.30
A_c (cm^2): 100, 103, 106, 110, 120, 133, 150
f= A_c (g/cm): 400.00, 406.85, 412.34, 418.00, 432.00, 453.53, 495.00
h (cm): 400, 200, 200, 400, 400, 400
Montamos a tabela de
x (m) → x (cm): 0→0, 4→400, 6→600, 8→800, 12→1200, 16→1600, 20→2000;
A_c (cm^2): 100, 103, 106, 110, 120, 133, 150
f=
h (cm): 400, 200, 200, 400, 400, 400
Passo 3
A regra trapezoidal composta para espaçamentos variáveis é
onde
. Vamos calcular cada termo:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Somando todos os
:
$$
m\approx T_1+T_2+T_3+T_4+T_5+T_6=861,135,\mathrm{g}$$
Essa é a massa total da haste em gramas.
Essa é a massa total da haste em gramas.