A massa total de uma haste de densidade variável é dada por
m=integral0^L rho(x) Ac(x) d x
onde m é a massa, rho(x) é a densidade, Ac(x), a área da seção transversal, x é a distância ao longo da haste e L seu comprimento total.
Para uma haste de comprimento L=20 m, os seguintes dados foram medidos:
c|ccccccc $x(m)$ & 0 & 4 & 6 & 8 & 12 & 16 & 20 hline(rho(g / cm^3)) & 4.00 & 3.95 & 3.89 & 3.80 & 3.60 & 3.41 & 3.30 hline(Ac(cm^2)) & 100 & 103 & 106 & 110 & 120 & 133 & 150 0 4 6 8 12 16 20
4.00 3.95 3.89 3.80 3.60 3.41 3.30
100 103 106 110 120 133 150
Determine a massa da haste, em gramas, escolhendo, entre os métodos que você conhece, aquele que fornece o resultado mais preciso. Cuidado com as unidades!

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma haste de comprimento L=20,m cuja densidade é variável segundo rho(x) e a área da seção transversal é Ac(x). A massa é dada por
m=integral0^L rho(x),Ac(x),dx
Precisamos de um método numérico que use todos os pontos fornecidos (em x=0,4,6,8,12,16,20 metros) e lide com espaçamentos irregulares. Vamos usar a regra trapezoidal composta para espaçamentos variáveis, pois ela aceita hi=xi-xi-1 diferente em cada subintervalo.

Passo 2

Para aplicar a regra trapezoidal temos que transformar tudo em unidades coerentes: como
rho(x) está em g/cm^3 e Ac(x) em cm^2, o produto f(x)=rho(x),Ac(x) tem unidades de g/cm. Logo precisamos que dx seja dado em centímetros. Convertendo
x de metros para centímetros: x,(cm)=100,x,(m).
Montamos a tabela de xi em cm, fi=rhoi Ac,i em g/cm, e hi=xi-xi-1 em cm:
x (m) → x (cm): 0→0, 4→400, 6→600, 8→800, 12→1200, 16→1600, 20→2000;
rho (g/cm^3): 4.00, 3.95, 3.89, 3.80, 3.60, 3.41, 3.30
A_c (cm^2): 100, 103, 106, 110, 120, 133, 150
f= rhocdotA_c (g/cm): 400.00, 406.85, 412.34, 418.00, 432.00, 453.53, 495.00
h (cm): 400, 200, 200, 400, 400, 400

Passo 3

A regra trapezoidal composta para espaçamentos variáveis é
integralx0^xnf(x),dxapproxsumi=1^nhi2l(fi-1+fir)
onde hi=xi-xi-1. Vamos calcular cada termo:
Para [0,400]:
T1=4002(400.00+406.85)=200times806.85=161,370,g
Para [400,600]:
T2=2002(406.85+412.34)=100times819.19=81,919,g
Para [600,800]:
T3=2002(412.34+418.00)=100times830.34=83,034,g
Para [800,1200]:
T4=4002(418.00+432.00)=200times850.00=170,000,g
Para [1200,1600]:
T5=4002(432.00+453.53)=200times885.53=177,106,g
Para [1600,2000]:
T6=4002(453.53+495.00)=200times948.53=189,706,g

Passo 4

Somando todos os Ti:
$$
m\approx T_1+T_2+T_3+T_4+T_5+T_6=861,135,\mathrm{g}$$
Essa é a massa total da haste em gramas.

Resposta

8,61times10^5 g

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