Use o Método Misto para encontrar soluções com precisão de 10^-5 para os seguintes problemas:
e^x+2^-x+2 * cos (x)-6=0

Passo 1

A tarefa é encontrar soluções da equação e^x+2^-x+2cos(x)-6=0 usando o Método Misto (combinação de bissecção e Newton) até 10^-5. Vamos precisar definir a função f(x) e sua derivada, achar intervalos que contenham as raízes e depois iterar.

Passo 2

Definimos
f(x)=e^x+2^-x+2cos(x)-6
para aplicar Newton precisamos também de
$$f’(x)=\frac{d}{dx}e{x}+\frac{d}{dx}2{-x}+\frac{d}{dx}\bigl(2\cos x\bigr)
=e{x}-2{-x}\ln2-2\sin x$$

Passo 3

Para localizar os intervalos onde ocorrem as trocas de sinal de f(x) avaliamos alguns pontos:
  • Em x=1, f(1)<0 e em x=2, f(2)>0, portanto há uma raiz em [1,2].
  • Em x=-3, f(-3)>0 e em x=-2, f(-2)<0, logo há outra raiz em [-3,-2].

Passo 4

No Método Misto, a cada iteração escolhemos um xk no interior do intervalo [a,b] e tentamos o passo de Newton:
$$x_{\rm new}=x_k-\frac{f(x_k)}{f’(x_k)}.
$$
Se xrm new=xk-f(xk)f'(xk) sair de xrm new, fazemos bissecção substituindo [a,b]. Depois atualizamos o intervalo com base no sinal de xrm new=(a+b)/2. Repetimos até f(xrm new).
Como exemplo, na raiz positiva iniciamos |b-a|<10^-5, dois passos rápidos levam a [1,2]. Na raiz negativa iniciamos xapprox1.82929, dois ou três passos levam a $x\approx-2.99130.

Passo 5

Após iterar até a precisão de 10^-5, obtemos as duas soluções aproximadas da equação.

Resposta

As raízes aproximadas são
x1approx-2.99130, x2approx1.82929

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