Use o Método Misto para encontrar soluções com precisão de
para os seguintes problemas:
Passo 1
A tarefa é encontrar soluções da equação
usando o Método Misto (combinação de bissecção e Newton) até
. Vamos precisar definir a função
e sua derivada, achar intervalos que contenham as raízes e depois iterar.
Passo 2
Definimos
para aplicar Newton precisamos também de
$$f’(x)=\frac{d}{dx}e{x}+\frac{d}{dx}2{-x}+\frac{d}{dx}\bigl(2\cos x\bigr)
=e{x}-2{-x}\ln2-2\sin x$$
Passo 3
Para localizar os intervalos onde ocorrem as trocas de sinal de
avaliamos alguns pontos:
- Em
, e em , , portanto há uma raiz em . - Em
, e em , , logo há outra raiz em .
Passo 4
No Método Misto, a cada iteração escolhemos um
no interior do intervalo
e tentamos o passo de Newton:
$$x_{\rm new}=x_k-\frac{f(x_k)}{f’(x_k)}.
$$
Se sair de
, fazemos bissecção substituindo
. Depois atualizamos o intervalo com base no sinal de
. Repetimos até
.
Como exemplo, na raiz positiva iniciamos , dois passos rápidos levam a
. Na raiz negativa iniciamos
, dois ou três passos levam a $x\approx-2.99130.
Se
Como exemplo, na raiz positiva iniciamos
Passo 5
Após iterar até a precisão de
, obtemos as duas soluções aproximadas da equação.
Resposta
As raízes aproximadas são