Para a, b \in \mathbb{Z}, mostre que
-(a+b)=-a-b e-(b-a)=a-b

Passo 1

O enunciado pede para provar, em \mathbb{Z} com a operação de adição, as identidades
-(a+b)= -a - b \quad\text{e}\quad -(b-a)=a-b.
Vamos usar que o inverso aditivo de qualquer elemento é único e que a adição em \mathbb{Z} é comutativa.

Passo 2

Para provar -(a+b)= -a - b, note que
(a+b)+\bigl((-a)+(-b)\bigr) = (a+(-a))+(b+(-b)) = 0+0 = 0
e, pela comutatividade,
\bigl((-a)+(-b)\bigr)+(a+b)=0.
Isso mostra que (-a)+(-b) é o inverso aditivo de a+b. Como o inverso aditivo é único, concluímos
-(a+b)=(-a)+(-b)=-a-b.

Passo 3

Para provar -(b-a)=a-b, observe que
b-a = b + (-a).
Aplicando o resultado anterior,
-(b-a) = -(b+(-a)) = -b - (-a).
Em \mathbb{Z} vale -(-a)=a, logo
-(b-a)=-b + a = a - b.

Resposta

-(a+b)= -a - b -(b-a)=a-b

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