Para a, b \in \mathbb{Z}, mostre que
a-(b-c)=(a+c)-b

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, para quaisquer inteiros a,b,c, que
a - (b - c) \;=\;(a + c) - b.
O conteúdo é a definição de subtração em \mathbb{Z} e as propriedades de associatividade e comutatividade da adição.

Passo 2

Lembrando que, por definição em \mathbb{Z}, subtrair é adicionar o inverso aditivo:
x - y = x + (-y).
Aplicando isso ao lado esquerdo, temos
a - (b - c) = a + \bigl(-\,(b - c)\bigr).

Passo 3

Precisamos entender o inverso aditivo de (b - c). Novamente pela definição,
b - c = b + (-c),
então o inverso aditivo é
-\,(b - c) = -(b + (-c)).
Pela propriedade de inverso em soma,
-(b + (-c)) = (-b) + c.
Logo
-\,(b - c) = (-b) + c.

Passo 4

Substituindo em a + (-(b - c)), obtemos
a + \bigl((-b) + c\bigr).
Pela associatividade e comutatividade da adição, podemos agrupar e reordenar:
a + \bigl((-b) + c\bigr) = (a + c) + (-b).

Passo 5

Finalmente, voltando à definição de subtração para o termo (a + c) + (-b), concluímos que
(a + c) + (-b) = (a + c) - b.

Resposta

a - (b - c) = (a + c) - b.

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