Uma barra de aço, usinada, deve aguentar uma carga de tensão axial flutuante variando de 40 a 100 MPa . Por causa das extremidades e do raio de arredondamento, o fator de concentração de tensão de fadiga é de 1,7 . Encontre os coeficientes de segurança e as coordenadas Sa e Sm máximas para Lander, Goodman e Gerber. Sut =700 \mathrm{MPa}, Sy =520 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado trata de projeto à fadiga de uma barra submetida a tensão axial variável entre 40 e 100 MPa, com fator de concentração de tensão K_f=1{,}7. Vamos usar os conceitos de tensão média \Sm e tensão alternante \Sa, a resistência à fadiga aproximada por \Se'=S_{ut}/2, e aplicar os critérios de Soderberg (usado aqui para “Lander”), Goodman e Gerber, calculando para cada um:
• O coeficiente de segurança sob o carregamento dado.
• As coordenadas máximas (\Sm,\Sa) no diagrama de amplitude versus média (interceptos nos eixos).

Passo 2

Calculamos primeiro a tensão média e a tensão alternante no carregamento bruto:
\Sm = \frac{S_{\rm max} + S_{\rm min}}{2} = \frac{100 + 40}{2} = 70\quad\text{(MPa)},
\Sa = \frac{S_{\rm max} - S_{\rm min}}{2} = \frac{100 - 40}{2} = 30\quad\text{(MPa)}.
Incluindo o fator de concentração K_f, as tensões efetivas são
\Sm^{*} = K_f\,\Sm = 1{,}7 \times 70 = 119\quad\text{MPa},
\Sa^{*} = K_f\,\Sa = 1{,}7 \times 30 = 51\quad\text{MPa}.

Passo 3

Tomamos a resistência à fadiga não corrigida por superfície como
\Se' = \frac{S_{ut}}{2} = \frac{700}{2} = 350\quad\text{MPa}.
Não há outros fatores de correção fornecidos, logo usaremos \Se =350 MPa.

Passo 4

Critério de Soderberg (Lander), que usa o limite de escoamento S_y:
\frac{\Sa^{*}}{\Se} + \frac{\Sm^{*}}{S_y} = \frac{1}{n_{\rm Sod}} \quad\Longrightarrow\quad n_{\rm Sod} =\frac{1}{\displaystyle \frac{51}{350} + \frac{119}{520}} =\frac{1}{0,1457 + 0,2288} \approx 2{,}67.

Passo 5

Critério de Goodman, que usa o limite à tração S_{ut} no eixo das médias:
\frac{\Sa^{*}}{\Se} + \frac{\Sm^{*}}{S_{ut}} = \frac{1}{n_{\rm Gdn}} \quad\Longrightarrow\quad n_{\rm Gdn} =\frac{1}{\displaystyle \frac{51}{350} + \frac{119}{700}} =\frac{1}{0,1457 + 0,1700} \approx 3{,}17.

Passo 6

Critério de Gerber, forma parabólica: para fator de segurança n_{\rm Ger} exige
\Sa^{*} \le n_{\rm Ger}\,\Se\Bigl[\,1 - \Bigl(\frac{\Sm^{*}}{S_{ut}}\Bigr)^{2}\Bigr] \quad\Longrightarrow\quad n_{\rm Ger} =\frac{\Sa^{*}}{\Se\bigl[1 - (\Sm^{*}/S_{ut})^{2}\bigr]}^{-1} =\frac{\Se\bigl[1 - (119/700)^{2}\bigr]}{51} \approx \frac{350\,(1 - 0,0289)}{51} \approx 6{,}67.

Passo 7

Interceptos nos eixos \Sa máxima para \Sm=0 e \Sm máxima para \Sa=0 em cada diagrama (tomando n=1):
  • Soderberg:
    \Sa_{\max}=\Se=350 MPa, \Sm_{\max}=S_y=520 MPa.
  • Goodman:
    \Sa_{\max}=\Se=350 MPa, \Sm_{\max}=S_{ut}=700 MPa.
  • Gerber:
    \Sa_{\max}=\Se=350 MPa, \Sm_{\max}=S_{ut}=700 MPa.

Resposta

Coeficientes de segurança:
Soderberg (Lander): n_{\rm Sod}\approx 2{,}67
Goodman: n_{\rm Gdn}\approx 3{,}17
Gerber: n_{\rm Ger}\approx 6{,}67
Coordenadas máximas (\Sm,\Sa):
Soderberg: (0,\,350) e (520,\,0) em MPa
Goodman: (0,\,350) e (700,\,0) em MPa
Gerber: (0,\,350) e (700,\,0) em MPa

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