Considere o PVI:
y^{\prime}=2 y-3 t ; y(0)=3
Ache \mathrm{y}(0,3) pelo Método de Euler implícito com \mathrm{h}=0,05.

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
y' = 2y - 3t,\quad y(0)=3
e pede a aproximação de y(0{,}3) pelo Método de Euler implícito com passo h=0{,}05. O conteúdo aqui é a aplicação do esquema de Euler backward numa EDO linear de primeira ordem.

Passo 2

No Método de Euler implícito temos
y_{n+1} = y_n + h\,f\bigl(t_{n+1},y_{n+1}\bigr).
Como f(t,y)=2y-3t, substituindo e isolando y_{n+1}
y_{n+1} = y_n + h\bigl(2y_{n+1}-3t_{n+1}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y_{n+1}(1-2h)=y_n -3h\,t_{n+1}
portanto
\boxed{y_{n+1}=\frac{y_n -3h\,t_{n+1}}{1-2h}}\quad\text{com }1-2h=1-0{,}1=0{,}9.

Passo 3

Agora iteramos até t=0{,}3 n=6 passos de h=0{,}05. Seja t_n=n\,h.
- n=0: t_0=0, y_0=3.
- n=1: t_1=0{,}05,
y_1=\frac{3 -0{,}15\cdot0{,}05}{0{,}9} =\frac{3-0{,}0075}{0{,}9} =3{,}325.
- n=2: t_2=0{,}10,
y_2=\frac{3{,}325 -0{,}15\cdot0{,}10}{0{,}9} =\frac{3{,}325-0{,}015}{0{,}9} \approx3{,}6778.
- n=3: t_3=0{,}15,
y_3=\frac{3{,}6778 -0{,}15\cdot0{,}15}{0{,}9} =\frac{3{,}6778-0{,}0225}{0{,}9} \approx4{,}0614.
- n=4: t_4=0{,}20,
y_4=\frac{4{,}0614 -0{,}15\cdot0{,}20}{0{,}9} =\frac{4{,}0614-0{,}03}{0{,}9} \approx4{,}4794.
- n=5: t_5=0{,}25,
y_5=\frac{4{,}4794 -0{,}15\cdot0{,}25}{0{,}9} =\frac{4{,}4794-0{,}0375}{0{,}9} \approx4{,}9354.
- n=6: t_6=0{,}30,
y_6=\frac{4{,}9354 -0{,}15\cdot0{,}30}{0{,}9} =\frac{4{,}9354-0{,}045}{0{,}9} \approx5{,}4338.

Resposta

A aproximação pelo Método de Euler implícito em t=0{,}3 é
y(0{,}3)\approx5{,}4338.

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